数学 › 複素関数論 › 調和関数と Poisson 積分

Poisson 積分公式

定理 4.3（「調和関数と Poisson 積分」§4）・ ✓公理まで証明済み

$u$ を $\overline{\mathbb{D}}$ を含む開集合上の調和関数とする。このとき $0\le r<1$ 、 $\phi\in\mathbb{R}$ に対して

u(re^{i\phi})=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}P_r(\phi-\theta)\,u(e^{i\theta})\,d\theta .

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 4 件、定義なども含めて 5 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

円板上の調和共役✓命題 3.2・調和関数と Poisson 積分
- コーシー・リーマンの関係式（十分性）✓定理 5.1・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
  - 1 次近似としての複素微分可能性✓命題 3.3・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
- 単連結領域定義 5.2・等角写像とリーマン写像定理
Poisson 核の性質✓補題 4.2・調和関数と Poisson 積分

これを使っている定理証明で参照している 4 件

Harnack の不等式✓定理 5.3・調和関数と Poisson 積分
Carathéodory の係数評価✓命題 6.1・調和関数と Poisson 積分
Herglotz の表現定理（円板）✓定理 6.2・調和関数と Poisson 積分
Poisson–Jensen 公式✓定理 8.2・Jensen の公式と劣調和関数

関連するノック 1 問

複素解析第 88 問