Poisson–Jensen 公式

定理 8.2（「Jensen の公式と劣調和関数」§8）・ ✓公理まで証明済み

$f$ を、閉円板 $\overline{D}(0,R)$ を含む円板上の正則関数で、恒等的には $0$ でなく、円周 $|z|=R$ 上に零点をもたないものとする。 $D(0,R)$ の中の $f$ の零点を、重複込みで $a_1,\dots,a_N$ とする。 $z=re^{i\varphi}\in D(0,R)$ が $f$ の零点でないとき

\log|f(z)|=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}P_{r/R}(\varphi-\theta)\,\log|f(Re^{i\theta})|\,d\theta+\sum_{k=1}^{N}\log\bigl|b_{a_k}(z)\bigr|

である。ここで $P_s$ は Poisson 核（定義 4.1［調和関数と Poisson 積分］）で、右辺の和の各項は $0$ 以下である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 31 件、定義なども含めて 40 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

零点のない正則関数の $\log|g|$ ✓補題 6.1・Jensen の公式と劣調和関数
- 単連結領域定義 5.2・等角写像とリーマン写像定理
- 実部・虚部は調和関数✓系 5.7・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
  - 正則性の特徴づけ✓定理 5.4・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
    C¹ 級による正則性の判定✓系 5.3・正則関数とコーシー・リーマンの関係式この先をたどる →
    コーシー・リーマンの関係式（必要性）✓定理 4.1・正則関数とコーシー・リーマンの関係式この先をたどる →
    正則関数の無限回微分可能性✓系 3.3・正則関数の強力な性質この先をたどる →
    複素微分可能なら連続✓命題 3.4・正則関数とコーシー・リーマンの関係式この先をたどる →
  - シュワルツの定理（偏微分の順序交換）✓定理 7.1・多変数関数の微分と偏微分
    極限の一意性✓定理 3.5・極限と連続性この先をたどる →
Poisson 積分公式✓定理 4.3・調和関数と Poisson 積分
- 円板上の調和共役✓命題 3.2・調和関数と Poisson 積分
  - コーシー・リーマンの関係式（十分性）✓定理 5.1・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
    1 次近似としての複素微分可能性✓命題 3.3・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
  - 単連結領域定義 5.2・等角写像とリーマン写像定理
- Poisson 核の性質✓補題 4.2・調和関数と Poisson 積分
Blaschke 因子✓補題 8.1・Jensen の公式と劣調和関数

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。

Poisson–Jensen 公式

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

これを使っている定理

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）