数学 › 複素関数論 › 調和関数と Poisson 積分

下に有界な調和関数

系 5.4（「調和関数と Poisson 積分」§5）・ ✓公理まで証明済み

$u$ を $\mathbb{C}$ 全体で調和な関数とし、 $u\ge c$ （定数 $c$ ）ならば $u$ は定数である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 67 件、定義なども含めて 82 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

Harnack の不等式✓定理 5.3・調和関数と Poisson 積分
- Poisson 積分公式✓定理 4.3・調和関数と Poisson 積分
  - 円板上の調和共役✓命題 3.2・調和関数と Poisson 積分
    コーシー・リーマンの関係式（十分性）✓定理 5.1・正則関数とコーシー・リーマンの関係式この先をたどる →
    単連結領域定義 5.2・等角写像とリーマン写像定理
  - Poisson 核の性質✓補題 4.2・調和関数と Poisson 積分
- Poisson 核の性質✓補題 4.2・調和関数と Poisson 積分
- 調和関数の平均値の性質✓系 3.3・調和関数と Poisson 積分
  - 円板上の調和共役✓命題 3.2・調和関数と Poisson 積分（上で展開済み）
  - 実部・虚部は調和関数✓系 5.7・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
    正則性の特徴づけ✓定理 5.4・正則関数とコーシー・リーマンの関係式この先をたどる →
    シュワルツの定理（偏微分の順序交換）✓定理 7.1・多変数関数の微分と偏微分この先をたどる →
  - 正則関数の平均値の性質✓系 6.5・コーシーの積分定理と積分公式
    コーシーの積分公式✓定理 6.1・コーシーの積分定理と積分公式この先をたどる →

これを使っている定理証明で参照している 1 件

境界で 0 の有界調和関数✓補題 2.3・Paley–Wiener の定理・Hardy 空間・Hilbert 変換

関連するノック 2 問