数学 › フーリエ解析と超関数 › Paley–Wiener の定理・Hardy 空間・Hilbert 変換

Paley–Wiener の定理（上半平面）

定理 3.2（「Paley–Wiener の定理・Hardy 空間・Hilbert 変換」§3）・ ✓公理まで証明済み

$F\in H^2(\mathbb{C}_+)$ であるための必要十分条件は、 $g\in L^2(0,\infty)$ が存在して

F(z)=\frac1{2\pi}\int_0^\infty g(\xi)\,e^{iz\xi}\,d\xi\qquad(z\in\mathbb{C}_+)

と書けることである。このとき $\|F\|_{H^2}^2=\frac1{2\pi}\|g\|_2^2$ で、 $f=\mathcal{F}^{-1}g$ （ $g$ を $\xi\lt0$ で $0$ と延長）について $F_y\to f$ （ $L^2$ ）かつ $F_y=P_y*f$ 。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 108 件、定義なども含めて 128 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

Plancherel の定理✓定理 4.1・ℝⁿ 上のフーリエ変換
- 平行移動の連続性✓補題 2.3・ℝⁿ 上のフーリエ変換
  - $C_c$ は $L^p$ で稠密✓命題 7.2・L^p 空間と関数解析への導入
    単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    $ℝ^d$ のルベーグ測度は Radon でボレル正則✓命題 5.4・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理この先をたどる →
    Radon 測度定義 3.1・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理
    σ-有限な集合での内正則性✓命題 5.1・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理
    Urysohn の補題（台がコンパクトな版）✓定理 4.1・局所コンパクト空間この先をたどる →
    ミンコフスキーの不等式✓定理 4.5・L^p 空間と関数解析への導入この先をたどる →
- L¹ での基本性質✓命題 2.2・ℝⁿ 上のフーリエ変換
  - ルベーグの優収束定理✓定理 7.3・ルベーグ積分の定義と収束定理
    零集合は積分に影響しない✓命題 6.4・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    $L^1$ の線型性と三角不等式✓命題 7.2・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    ファトゥの補題✓補題 6.1・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
  - Tonelli の定理✓定理 3.3・直積測度と Fubini–Tonelli の定理
    直積測度の存在と一意性✓定理 3.2・直積測度と Fubini–Tonelli の定理この先をたどる →
    非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
  - Fubini の定理✓定理 3.4・直積測度と Fubini–Tonelli の定理
    Tonelli の定理✓定理 3.3・直積測度と Fubini–Tonelli の定理（上で展開済み）
    零集合は積分に影響しない✓命題 6.4・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
  - 回転不変性と相似✓系 3.5・ℝ^d の変数変換公式と極座標
    積の定理✓定理 6.1・行列式とその性質この先をたどる →
    転置不変性と三角行列✓命題 3.3・行列式とその性質この先をたどる →
    単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
  - 積分記号下の微分✓系 7.4・ルベーグ積分の定義と収束定理
    $L^1$ の線型性と三角不等式✓命題 7.2・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    ラグランジュの平均値の定理✓定理 3.3・平均値の定理とテイラーの定理この先をたどる →
    ルベーグの優収束定理✓定理 7.3・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
- Gauss 関数の Fourier 変換✓命題 3.1・ℝⁿ 上のフーリエ変換
  - L¹ での基本性質✓命題 2.2・ℝⁿ 上のフーリエ変換（上で展開済み）
  - ガウス積分✓定理 3.3・広義積分・パラメータ積分とガンマ関数
    比較判定法と絶対収束✓定理 2.3・広義積分・パラメータ積分とガンマ関数この先をたどる →
    置換積分✓定理 6.1・積分の基本定理と定積分この先をたどる →
- Gauss 核による近似✓補題 3.2・ℝⁿ 上のフーリエ変換
  - 平行移動の連続性✓補題 2.3・ℝⁿ 上のフーリエ変換（上で展開済み）

これを使っている定理証明で参照している 3 件

Paley–Wiener の定理（指数型整関数）✓定理 3.3・Paley–Wiener の定理・Hardy 空間・Hilbert 変換
Sokhotski–Plemelj の公式✓定理 5.1・Paley–Wiener の定理・Hardy 空間・Hilbert 変換
Wiener–Hopf 作用素と Toeplitz 作用素✓命題 3.1・Toeplitz 作用素と Szegő の極限定理

Paley–Wiener の定理（上半平面）

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 1 件）

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