物理学 › 量子力学 II › 時間の観測量

時刻の重心のエネルギー表示

補題 2.2（「時間の観測量」§2） ・ ✓公理まで証明済み

b∈Cc1(R)b\in C^1_c(\mathbb{R})、b≠0b\ne0 とし、ff をその信号とする。このとき ff と tf(t)tf(t) は L2(R)L^2(\mathbb{R}) に属し、

∫R∣f(t)∣2dt=2πℏ∫R∣b(E)∣2dE,∫Rt ∣f(t)∣2dt=2πℏ2∫RIm(b(E)‾ b′(E)) dE.\int_{\mathbb{R}}|f(t)|^2dt=2\pi\hbar\int_{\mathbb{R}}|b(E)|^2dE,\qquad \int_{\mathbb{R}}t\,|f(t)|^2dt=2\pi\hbar^2\int_{\mathbb{R}}\mathrm{Im}\bigl(\overline{b(E)}\,b'(E)\bigr)\,dE .

したがって

⟨t⟩[b]=ℏ ∫Im(bˉ b′) dE∫∣b∣2 dE.\langle t\rangle[b]=\hbar\,\frac{\int\mathrm{Im}(\bar b\,b')\,dE}{\int|b|^2\,dE}.

とくに b=∣b∣eiχb=|b|e^{i\chi} と C1C^1 級の位相 χ\chi で書けるところでは Im(bˉ b′)=∣b∣2χ′\mathrm{Im}(\bar b\,b')=|b|^2\chi' なので、⟨t⟩[b]\langle t\rangle[b] は位相の微分 ℏχ′\hbar\chi' を重み ∣b∣2|b|^2 で平均したものである。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 108 件、定義なども含めて 128 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理 証明で参照している 1 件