物理学 › 電磁気学 › 電磁放射

放射エネルギーの低周波スペクトル

命題 7.1（「電磁放射」§7） ・ ✓公理まで証明済み

非相対論的な点電荷の加速度 a(t)\boldsymbol{a}(t) が L1∩L2L^1\cap L^2 に属し、全体の速度変化 Δv=∫a dt\Delta\boldsymbol{v}=\int\boldsymbol{a}\,dt とする。放射される全エネルギーを W=∫0∞dWdωdωW=\int_0^\infty\frac{dW}{d\omega}d\omega と角周波数で分解したとき、

dWdω=μ0q26π2c ∣a~(ω)∣2,a~(ω)=∫a(t)eiωtdt,\frac{dW}{d\omega}=\frac{\mu_0q^2}{6\pi^2c}\,|\tilde{\boldsymbol{a}}(\omega)|^2,\qquad\tilde{\boldsymbol{a}}(\omega)=\int\boldsymbol{a}(t)e^{i\omega t}dt,

であり、ω→0\omega\to0 の極限は μ0q26π2c∣Δv∣2\dfrac{\mu_0q^2}{6\pi^2c}|\Delta\boldsymbol{v}|^2 に等しい。さらに、角周波数 ωmin⁡\omega_{\min} から ωmax⁡\omega_{\max} の間に放射される光子の平均個数は、ℏω\hbar\omega を 1 光子のエネルギーとして

N=∫ωmin⁡ωmax⁡1ℏωdWdωdω≈2α3π(∣Δv∣c)2ln⁡ωmax⁡ωmin⁡(ωmin⁡<ωmax⁡≪1/T)N=\int_{\omega_{\min}}^{\omega_{\max}}\frac{1}{\hbar\omega}\frac{dW}{d\omega}d\omega\approx\frac{2\alpha}{3\pi}\Bigl(\frac{|\Delta\boldsymbol{v}|}{c}\Bigr)^2\ln\frac{\omega_{\max}}{\omega_{\min}}\qquad(\omega_{\min}<\omega_{\max}\ll1/T)

と対数的に大きくなり、ωmin⁡→0\omega_{\min}\to0 で発散する。ここで TT は加速が起こる時間幅、 α=q2/(4πε0ℏc)\alpha=q^2/(4\pi\varepsilon_0\hbar c) は微細構造定数である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 138 件、定義なども含めて 166 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。

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