数学 › 特殊関数と漸近解析 › Bessel・Airy・Whittaker 関数

K を Fourier 変換で書く

補題 7.5（「Bessel・Airy・Whittaker 関数」§7）・ ✓公理まで証明済み

$f\in\mathcal{C}$ とし、 $h(\xi)=\displaystyle\int_0^\infty\frac{f(x)}{x}\,e^{-ix\xi}\,dx$ （ $f/x$ の Fourier 変換。定義 2.1［ℝⁿ 上のフーリエ変換］）、 $a(s)=h(\sinh s)$ 、 $\hat a(\tau)=\displaystyle\int_{\mathbb{R}}a(s)e^{i\tau s}ds$ とおく。このとき

$a$ は Schwartz 関数で、したがって $\hat a$ も Schwartz 関数である。
すべての $\tau\in\mathbb{R}$ で $(\mathcal{K}f)(\tau)=\dfrac12e^{-\pi\tau/2}\,\hat a(\tau)$ 。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 16 件、定義なども含めて 20 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

回転した積分表示✓補題 7.2・Bessel・Airy・Whittaker 関数
ルベーグの優収束定理✓定理 7.3・ルベーグ積分の定義と収束定理
- 零集合は積分に影響しない✓命題 6.4・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 測度の下からの連続性✓命題 2.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理
    単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
    単関数の積分の基本性質✓補題 4.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
- $L^1$ の線型性と三角不等式✓命題 7.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
  - 零集合は積分に影響しない✓命題 6.4・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
- ファトゥの補題✓補題 6.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理
    可測性の同値な言い換え✓命題 3.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
    有理数の稠密性✓定理 5.2・実数の完備性とコーシー列この先をたどる →
  - 単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
    可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
    単関数の積分の基本性質✓補題 4.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
    単関数が定める測度✓補題 4.3・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    測度の下からの連続性✓命題 2.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
    非負可測関数のルベーグ積分定義 5.1・ルベーグ積分の定義と収束定理

これを使っている定理証明で参照している 2 件

Kontorovich–Lebedev 変換の Plancherel の等式✓定理 7.6・Bessel・Airy・Whittaker 関数
Kontorovich–Lebedev の反転公式とユニタリ性✓定理 7.8・Bessel・Airy・Whittaker 関数

K を Fourier 変換で書く

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）

これを使っている定理 証明で参照している 2 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

これを使っている定理証明で参照している 2 件