Ξ の積分表示

補題 5.4（「リーマン予想 II」§5）・ ✓公理まで証明済み

すべての $s\in\mathbb{C}$ で $\xi(s)=\dfrac12+\dfrac{s(s-1)}2\displaystyle\int_1^\infty\omega(x)\bigl(x^{s/2-1}+x^{-(s+1)/2}\bigr)dx$ 。
定数 $C$ があって、すべての実数 $t$ で $|\Xi(t)|\le C(1+t^4)e^{-\pi|t|/4}$ 。
$k(u):=e^{-u/2}-2e^{u/2}\omega(e^{2u})$ とおく。 $|\operatorname{Im}u|\lt\frac\pi4$ を満たすすべての複素数 $u$ で

\int_0^\infty\frac{\Xi(t)}{t^2+\frac14}\cos(ut)\,dt=\frac\pi2\,k(u)

が成り立ち、左辺は $u$ について正則で、積分記号の下で何回でも微分できる。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 188 件、定義なども含めて 221 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 7 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

ガンマ関数定義 6.1・整関数とガンマ関数
縦の直線上での Γ の減衰✓系 7.5・漸近解析
- Stirling の公式（複素扇形・誤差つき）✓定理 7.4・漸近解析
  - Gauss の極限公式✓定理 6.3・整関数とガンマ関数
    ルベーグの優収束定理✓定理 7.3・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    ガンマ関数の解析接続と関数等式✓定理 6.2・整関数とガンマ関数この先をたどる →
  - Euler–Maclaurin の公式✓定理 7.2・漸近解析
    Bernoulli 多項式✓補題 7.1・漸近解析
  - Stirling の公式（実軸）✓定理 6.6・整関数とガンマ関数この先をたどる →
  - ワイエルシュトラスの収束定理✓定理 5.2・偏角の原理と Rouché の定理（上で展開済み）
臨界帯の近くでのゼータ関数の大きさ✓補題 7.6・リーマン予想とは何か
- モレラの定理✓定理 3.6・正則関数の強力な性質
  - 正則関数の無限回微分可能性✓系 3.3・正則関数の強力な性質この先をたどる →
- ワイエルシュトラスの収束定理✓定理 5.2・偏角の原理と Rouché の定理（上で展開済み）
- リーマンの関数等式✓定理 4.5・リーマン予想とは何か
  - ζ 関数の解析接続と関数等式✓定理 7.4・整関数とガンマ関数この先をたどる →
  - ガンマ関数の解析接続と関数等式✓定理 6.2・整関数とガンマ関数この先をたどる →
  - 1/Γ の無限積✓定理 6.4・整関数とガンマ関数（上で展開済み）
  - Legendre の倍数公式✓補題 2.1・Bessel・Airy・Whittaker 関数この先をたどる →
  - 相反公式✓定理 6.5・整関数とガンマ関数この先をたどる →
- 一致の定理✓定理 7.3・正則関数の強力な性質
  - 零点の孤立性✓補題 7.2・正則関数の強力な性質この先をたどる →
  - 正則関数の無限回微分可能性✓系 3.3・正則関数の強力な性質この先をたどる →
  - テイラー展開✓定理 5.2・正則関数の強力な性質この先をたどる →
Fourier 変換定義 2.1・ℝⁿ 上のフーリエ変換
反転公式✓定理 3.3・ℝⁿ 上のフーリエ変換
- Fubini の定理✓定理 3.4・直積測度と Fubini–Tonelli の定理
  - Tonelli の定理✓定理 3.3・直積測度と Fubini–Tonelli の定理この先をたどる →
  - 零集合は積分に影響しない✓命題 6.4・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
- Gauss 関数の Fourier 変換✓命題 3.1・ℝⁿ 上のフーリエ変換
  - L¹ での基本性質✓命題 2.2・ℝⁿ 上のフーリエ変換この先をたどる →
  - ガウス積分✓定理 3.3・広義積分・パラメータ積分とガンマ関数この先をたどる →
- Gauss 核による近似✓補題 3.2・ℝⁿ 上のフーリエ変換
  - 平行移動の連続性✓補題 2.3・ℝⁿ 上のフーリエ変換この先をたどる →
Z は実数値で、|Z(t)| = |ζ(1/2 + it)|✓命題 5.2・リーマン予想 II
- 一致の定理✓定理 7.3・正則関数の強力な性質（上で展開済み）
- リーマンの関数等式✓定理 4.5・リーマン予想とは何か（上で展開済み）
- 1/Γ の無限積✓定理 6.4・整関数とガンマ関数
  - 素因子の評価✓補題 4.2・整関数とガンマ関数
  - 正則関数の無限積✓命題 3.2・整関数とガンマ関数この先をたどる →
  - Gauss の極限公式✓定理 6.3・整関数とガンマ関数（上で展開済み）
ワイエルシュトラスの収束定理✓定理 5.2・偏角の原理と Rouché の定理
- グルサの定理（三角形版）✓定理 4.5・コーシーの積分定理と積分公式
  - 複素線積分の基本性質✓命題 2.3・コーシーの積分定理と積分公式この先をたどる →
  - 複素線積分に対する微積分の基本定理✓定理 3.2・コーシーの積分定理と積分公式この先をたどる →
  - ML 不等式✓補題 2.4・コーシーの積分定理と積分公式
- ML 不等式✓補題 2.4・コーシーの積分定理と積分公式
- モレラの定理✓定理 3.6・正則関数の強力な性質（上で展開済み）
- コーシーの積分公式（導関数版）✓定理 3.2・正則関数の強力な性質
  - コーシー型積分の微分✓補題 3.1・正則関数の強力な性質

これを使っている定理証明で参照している 1 件

Hardy の定理（1914）✓定理 5.5・リーマン予想 II

Ξ の積分表示

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 7 件）

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前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 7 件）

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