リーマンの関数等式

定理 4.5（「リーマン予想とは何か」§4）・ ✓公理まで証明済み

$\zeta$ は $\mathbb{C}$ 全体へ有理型に接続され、 $s = 1$ を唯一の極（単純極、留数 $1$ ）とする。さらに、すべての $s \in \mathbb{C}$ に対して

\zeta(s) = 2^{s}\,\pi^{s-1}\,\sin\!\left(\frac{\pi s}{2}\right)\Gamma(1-s)\,\zeta(1-s)

が有理型関数の等式として成り立つ。同値な形として、完備ゼータ関数

\xi(s) := \frac{1}{2}\,s(s-1)\,\pi^{-s/2}\,\Gamma\!\left(\frac{s}{2}\right)\zeta(s)

は整関数であり、 $\xi(s) = \xi(1-s)$ を満たす。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 121 件、定義なども含めて 147 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 5 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

ζ 関数の解析接続と関数等式✓定理 7.4・整関数とガンマ関数
- テータ関数の変換則✓定理 7.3・整関数とガンマ関数
  - ガウス関数の Fourier 変換✓補題 7.1・整関数とガンマ関数
    ガウス積分✓定理 3.3・広義積分・パラメータ積分とガンマ関数この先をたどる →
  - Fourier 係数が絶対収束する連続周期関数✓補題 7.2・整関数とガンマ関数
    円板の Dirichlet 問題✓定理 4.4・調和関数と Poisson 積分この先をたどる →
    Poisson 核の性質✓補題 4.2・調和関数と Poisson 積分
- ワイエルシュトラスの収束定理✓定理 5.2・偏角の原理と Rouché の定理
  - グルサの定理（三角形版）✓定理 4.5・コーシーの積分定理と積分公式
    複素線積分の基本性質✓命題 2.3・コーシーの積分定理と積分公式この先をたどる →
    複素線積分に対する微積分の基本定理✓定理 3.2・コーシーの積分定理と積分公式この先をたどる →
    ML 不等式✓補題 2.4・コーシーの積分定理と積分公式
  - ML 不等式✓補題 2.4・コーシーの積分定理と積分公式
  - モレラの定理✓定理 3.6・正則関数の強力な性質
    正則関数の無限回微分可能性✓系 3.3・正則関数の強力な性質この先をたどる →
  - コーシーの積分公式（導関数版）✓定理 3.2・正則関数の強力な性質
    コーシー型積分の微分✓補題 3.1・正則関数の強力な性質
- 1/Γ の無限積✓定理 6.4・整関数とガンマ関数（上で展開済み）
ガンマ関数の解析接続と関数等式✓定理 6.2・整関数とガンマ関数
- ワイエルシュトラスの収束定理✓定理 5.2・偏角の原理と Rouché の定理（上で展開済み）
1/Γ の無限積✓定理 6.4・整関数とガンマ関数
- 素因子の評価✓補題 4.2・整関数とガンマ関数
- 正則関数の無限積✓命題 3.2・整関数とガンマ関数
  - Log(1+w) の評価✓補題 3.1・整関数とガンマ関数
    対数の主枝の正則性✓定理 6.9・正則関数とコーシー・リーマンの関係式この先をたどる →
  - ワイエルシュトラスの M 判定法✓系 6.4・関数列と一様収束
    一様収束のコーシー判定法✓定理 6.2・関数列と一様収束この先をたどる →
  - ワイエルシュトラスの収束定理✓定理 5.2・偏角の原理と Rouché の定理（上で展開済み）
- Gauss の極限公式✓定理 6.3・整関数とガンマ関数
  - ルベーグの優収束定理✓定理 7.3・ルベーグ積分の定義と収束定理
    零集合は積分に影響しない✓命題 6.4・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    $L^1$ の線型性と三角不等式✓命題 7.2・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    ファトゥの補題✓補題 6.1・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
  - ガンマ関数の解析接続と関数等式✓定理 6.2・整関数とガンマ関数（上で展開済み）
Legendre の倍数公式✓補題 2.1・Bessel・Airy・Whittaker 関数
- 相反公式✓定理 6.5・整関数とガンマ関数（上で展開済み）
相反公式✓定理 6.5・整関数とガンマ関数
- 1/Γ の無限積✓定理 6.4・整関数とガンマ関数（上で展開済み）
- sin の無限積✓系 5.4・整関数とガンマ関数
  - 正則関数の無限積✓命題 3.2・整関数とガンマ関数（上で展開済み）
  - cot の部分分数展開✓命題 5.3・整関数とガンマ関数
    留数定理✓定理 5.1・留数定理と定積分への応用この先をたどる →

これを使っている定理証明で参照している 6 件

定理 3.1✓リーマン予想 II
Z は実数値で、|Z(t)| = |ζ(1/2 + it)|✓命題 5.2・リーマン予想 II
ζ(0) の値✓命題 4.7・リーマン予想とは何か
自明な零点✓命題 5.1・リーマン予想とは何か
臨界帯の近くでのゼータ関数の大きさ✓補題 7.6・リーマン予想とは何か
誤差の評価から零点のない領域へ✓補題 7.12・リーマン予想とは何か

リーマンの関数等式

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 5 件）

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