数学 › フーリエ解析と超関数 › Laplace・Mellin 変換と Tauber 型定理

斉次核作用素のノルム

定理 6.2（「Laplace・Mellin 変換と Tauber 型定理」§6） ・ ✓公理まで証明済み

K:(0,∞)2→CK:(0,\infty)^2\to\mathbb{C} を可測で −1-1 次斉次（K(λx,λy)=λ−1K(x,y)K(\lambda x,\lambda y)=\lambda^{-1}K(x,y)）とし、∫0∞∣K(1,y)∣y−1/2dy<∞\int_0^\infty|K(1,y)|y^{-1/2}dy\lt\infty とする。このとき (Kf)(x)=∫0∞K(x,y)f(y) dy(\mathbf{K}f)(x)=\int_0^\infty K(x,y)f(y)\,dy は L2(0,∞)L^2(0,\infty) 上の有界作用素で、Mellin 変換により掛け算作用素

M(Kf)(12+it)=κ(t) Mf(12+it),κ(t)=∫0∞K(1,y) y−1/2−it dy\mathcal{M}(\mathbf{K}f)\Bigl(\frac12+it\Bigr)=\kappa(t)\,\mathcal{M}f\Bigl(\frac12+it\Bigr),\qquad\kappa(t)=\int_0^\infty K(1,y)\,y^{-1/2-it}\,dy

に移る。∥K∥=sup⁡t∣κ(t)∣\|\mathbf{K}\|=\sup_t|\kappa(t)| で、K≥0K\ge0 ならば ∥K∥=κ(0)=∫0∞K(1,y)y−1/2dy\|\mathbf{K}\|=\kappa(0)=\int_0^\infty K(1,y)y^{-1/2}dy。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 21 件、定義なども含めて 26 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。

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