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Löwner 順序の基本性質

補題 2.1（「作用素不等式と積分作用素」§2）・ ✓公理まで証明済み

自己共役な有界作用素について、

$A\le B$ なら任意の $C\in\mathcal{B}(\mathcal{H})$ で $C^*AC\le C^*BC$ 。
$0\le A\le B$ なら $\|A\|\le\|B\|$ 。
$A,B$ が正定値なら、 $A\le B$ と $\|A^{1/2}B^{-1/2}\|\le1$ は同値。
$A,B$ が正定値で $A\le B$ なら $B^{-1}\le A^{-1}$ 。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 8 件、定義なども含めて 8 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

自己共役作用素のスペクトル✓定理 6.10・有界作用素と共役作用素
- 共役の基本性質✓命題 3.3・有界作用素と共役作用素
- 正規作用素のスペクトル半径✓系 6.8・有界作用素と共役作用素
  - C*-恒等式✓定理 3.4・有界作用素と共役作用素
    共役の基本性質✓命題 3.3・有界作用素と共役作用素
  - スペクトル半径公式（Gelfand）✓定理 6.7・有界作用素と共役作用素
    スペクトルは空でないコンパクト集合✓定理 6.6・有界作用素と共役作用素この先をたどる →
    レゾルベントの解析性✓命題 6.5・有界作用素と共役作用素この先をたどる →

これを使っている定理証明で参照している 2 件

Löwner–Heinz の不等式✓定理 3.3・作用素不等式と積分作用素
Cordes の不等式✓定理 4.2・作用素不等式と積分作用素