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Löwner–Heinz の不等式

定理 3.3（「作用素不等式と積分作用素」§3）・ ✓公理まで証明済み

$0\le\alpha\le1$ なら $t\mapsto t^\alpha$ は $[0,\infty)$ 上の作用素単調関数である。すなわち $0\le A\le B$ なら $A^\alpha\le B^\alpha$ 。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 102 件、定義なども含めて 124 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

Löwner 順序の基本性質✓補題 2.1・作用素不等式と積分作用素
- 自己共役作用素のスペクトル✓定理 6.10・有界作用素と共役作用素
  - 共役の基本性質✓命題 3.3・有界作用素と共役作用素
  - 正規作用素のスペクトル半径✓系 6.8・有界作用素と共役作用素
    C*-恒等式✓定理 3.4・有界作用素と共役作用素この先をたどる →
    スペクトル半径公式（Gelfand）✓定理 6.7・有界作用素と共役作用素この先をたどる →
$t^α$ の積分表示✓補題 3.2・作用素不等式と積分作用素
- 相反公式✓定理 6.5・整関数とガンマ関数
  - 1/Γ の無限積✓定理 6.4・整関数とガンマ関数
    素因子の評価✓補題 4.2・整関数とガンマ関数
    正則関数の無限積✓命題 3.2・整関数とガンマ関数この先をたどる →
    Gauss の極限公式✓定理 6.3・整関数とガンマ関数この先をたどる →
  - sin の無限積✓系 5.4・整関数とガンマ関数
    正則関数の無限積✓命題 3.2・整関数とガンマ関数この先をたどる →
    cot の部分分数展開✓命題 5.3・整関数とガンマ関数この先をたどる →

これを使っている定理証明で参照している 3 件

対数は作用素単調✓系 3.4・作用素不等式と積分作用素
Cordes の不等式✓定理 4.2・作用素不等式と積分作用素
冪関数の作用素凹性✓定理 9.4・作用素不等式と積分作用素