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Lieb の凹性定理

定理 9.6（「作用素不等式と積分作用素」§9）・ ✓公理まで証明済み

$0\le t\le1$ , $K\in M_n$ とする。半正定値行列の組 $(A,B)$ の関数

(A,B)\longmapsto\mathrm{tr}\bigl(K^*A^tKB^{1-t}\bigr)

は同時凹である（ $A^0=B^0=1$ と約束する）。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 95 件、定義なども含めて 117 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

重み付き幾何平均の同時凹性✓定理 9.5・作用素不等式と積分作用素
- $t^α$ の積分表示✓補題 3.2・作用素不等式と積分作用素
  - 相反公式✓定理 6.5・整関数とガンマ関数
    1/Γ の無限積✓定理 6.4・整関数とガンマ関数この先をたどる →
    sin の無限積✓系 5.4・整関数とガンマ関数この先をたどる →
- 並列和の同時凹性✓補題 9.3・作用素不等式と積分作用素

これを使っている定理証明で参照している 1 件

相対エントロピーの同時凸性✓系 9.7・作用素不等式と積分作用素