数学 › 関数解析と作用素論 › 作用素不等式と積分作用素

重み付き幾何平均の同時凹性

定理 9.5（「作用素不等式と積分作用素」§9）・ ✓公理まで証明済み

$0<t<1$ と $P,Q>0$ について

P\#_tQ=\frac{\sin\pi t}{\pi}\int_0^\infty s^{t-1}\bigl(P^{-1}+sQ^{-1}\bigr)^{-1}ds

が成り立つ。したがって $(P,Q)\mapsto P\#_tQ$ は同時凹である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 94 件、定義なども含めて 116 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

$t^α$ の積分表示✓補題 3.2・作用素不等式と積分作用素
- 相反公式✓定理 6.5・整関数とガンマ関数
  - 1/Γ の無限積✓定理 6.4・整関数とガンマ関数
    素因子の評価✓補題 4.2・整関数とガンマ関数
    正則関数の無限積✓命題 3.2・整関数とガンマ関数この先をたどる →
    Gauss の極限公式✓定理 6.3・整関数とガンマ関数この先をたどる →
  - sin の無限積✓系 5.4・整関数とガンマ関数
    正則関数の無限積✓命題 3.2・整関数とガンマ関数この先をたどる →
    cot の部分分数展開✓命題 5.3・整関数とガンマ関数この先をたどる →
並列和の同時凹性✓補題 9.3・作用素不等式と積分作用素

これを使っている定理証明で参照している 1 件

Lieb の凹性定理✓定理 9.6・作用素不等式と積分作用素