水素原子の電子には、原子核に捕まっている状態と、遠くへ飛び去ってしまう状態があります。量子力学ではこれらを作用素の「スペクトル」（とりうるエネルギーの集まり）で表しますが、無限次元ではスペクトルの中身が一様ではなく、とびとびの値の部分と、区間を埋める部分が混ざります。この記事では、スペクトルをいくつかの観点で仕分ける方法と、仕分けが摂動（作用素を少し変えること）に対してどれだけ安定か、そして仕分けが時間発展での「捕まる・飛び去る」にどう対応するかを説明します。読み終えると、水素原子のような作用素のスペクトルのどの部分が壊れにくいのかを言えるようになります。
以下の箇条書きには専門用語が並びますが、第 1 節以降で順に定義します。ここでは「3 通りの仕分けがある」という全体像だけをつかんでください。
閉作用素（定義域の上でグラフが閉じている作用素）のスペクトルは、T − z T-z T − z
自己共役作用素では、スペクトル測度 μ ψ \mu_\psi μ ψ H = H p p ⊕ H a c ⊕ H s c \mathcal{H}=\mathcal{H}_{\mathrm{pp}}\oplus\mathcal{H}_{\mathrm{ac}}\oplus\mathcal{H}_{\mathrm{sc}} H = H pp ⊕ H ac ⊕ H sc
孤立した有限多重度の固有値を離散スペクトル、残りを本質スペクトルと呼びます。λ \lambda λ 弱収束 して 0 0 0
Weyl の定理 : 相対コンパクトな対称摂動で本質スペクトルは変わりません。− Δ + V -\Delta+V − Δ + V V V V [ 0 , ∞ ) [0,\infty) [ 0 , ∞ ) RAGE の定理 : 純点部分のベクトルは時間発展しても有界領域にとどまり、連続部分のベクトルは時間平均の意味で任意の有界領域から出ていきます。束縛状態と散乱状態の区別がスペクトルの型で書けます。
閉作用素 : 定義域の上の列 ψ n → ψ \psi_n\to\psi ψ n → ψ T ψ n → η T\psi_n\to\eta T ψ n → η ψ \psi ψ T ψ = η T\psi=\eta T ψ = η 閉作用素 自己共役作用素 : 対称で、共役作用素と定義域まで含めて一致する作用素。実数値の観測量に対応します。→ 自己共役作用素 スペクトル測度と関数計算 : 自己共役作用素を、実数の部分集合ごとの射影の族で対角化する枠組み。→ スペクトル定理と関数計算 弱収束 : 任意のベクトルとの内積が収束する、という弱い意味の収束。ノルムでは収束しなくてもかまいません。→ 弱収束 直交補空間 : 部分空間のすべてのベクトルと直交するベクトル全体。→ 直交補空間 コンパクト作用素 : 有界集合をノルムで収束する部分列を持つ集合に移す作用素。→ コンパクト作用素 水素原子のハミルトニアン H = − Δ − 1 / ∣ x ∣ H=-\Delta-1/|x| H = − Δ − 1/∣ x ∣ − 1 / ( 4 n 2 ) -1/(4n^2) − 1/ ( 4 n 2 ) n = 1 , 2 , … n=1,2,\ldots n = 1 , 2 , … [ 0 , ∞ ) [0,\infty) [ 0 , ∞ ) [ 0 , ∞ ) [0,\infty) [ 0 , ∞ )
0 n = 1 n = 2 束縛状態（固有値） 散乱状態（連続部分）
水素原子のスペクトルの概形。負の側の点は固有値 −1/(4n²)（n = 1, 2, …）で 0 に集積し、0 以上は区間全体がスペクトルです。横軸の縮尺は目安です。 有限次元ではスペクトルは固有値の有限集合で、それ以上の区別はありません。無限次元では、少なくとも次の 3 つの問いが別々に現れます。
λ \lambda λ スペクトル測度は点に集中しているか、Lebesgue 測度に対して絶対連続か、そのどちらでもないか。
λ \lambda λ
1 は作用素 A − λ A-\lambda A − λ 前章 のスペクトル測度の測度論的な型、3 は摂動に対する安定性に関わります。この記事ではこの 3 つを定義し、互いの関係を整理し、3 について Weyl の判定法と Weyl の定理を、2 について時間発展との関係（RAGE の定理）を示します。
H \mathcal{H} H A A A E A E_A E A ψ ∈ H \psi\in\mathcal{H} ψ ∈ H μ ψ ( B ) = ⟨ ψ , E A ( B ) ψ ⟩ \mu_\psi(B)=\langle\psi,E_A(B)\psi\rangle μ ψ ( B ) = ⟨ ψ , E A ( B ) ψ ⟩
コンパクト作用素については コンパクト作用素 の定義を使い、必要な性質は本文中で証明します。
有限次元では、T − z T-z T − z ( T − z ) v = 0 (T-z)v=0 ( T − z ) v = 0 v ≠ 0 v\neq0 v = 0 z z z 直交補空間 が { 0 } \{0\} { 0 }
定義 3.1 （点・連続・剰余スペクトル ） ↗
T T T H \mathcal{H} H 閉作用素 とする。z ∈ σ ( T ) z\in\sigma(T) z ∈ σ ( T )
点スペクトル σ p ( T ) \sigma_{\mathrm{p}}(T) σ p ( T ) K e r ( T − z ) ≠ { 0 } \mathrm{Ker}(T-z)\neq\{0\} Ker ( T − z ) = { 0 } z z z 連続スペクトル σ c ( T ) \sigma_{\mathrm{c}}(T) σ c ( T ) T − z T-z T − z R a n ( T − z ) \mathrm{Ran}(T-z) Ran ( T − z ) R a n ( T − z ) ≠ H \mathrm{Ran}(T-z)\neq\mathcal{H} Ran ( T − z ) = H 剰余スペクトル σ r ( T ) \sigma_{\mathrm{r}}(T) σ r ( T ) T − z T-z T − z R a n ( T − z ) \mathrm{Ran}(T-z) Ran ( T − z ) T T T σ ( T ) = σ p ( T ) ⊔ σ c ( T ) ⊔ σ r ( T ) \sigma(T)=\sigma_{\mathrm{p}}(T)\sqcup\sigma_{\mathrm{c}}(T)\sqcup\sigma_{\mathrm{r}}(T) σ ( T ) = σ p ( T ) ⊔ σ c ( T ) ⊔ σ r ( T )
定理 3.2 （自己共役作用素には剰余スペクトルがない ） ✓
A A A σ ( A ) ⊂ R \sigma(A)\subset\mathbb{R} σ ( A ) ⊂ R σ r ( A ) = ∅ \sigma_{\mathrm{r}}(A)=\emptyset σ r ( A ) = ∅ λ ∈ R \lambda\in\mathbb{R} λ ∈ R λ ∈ σ c ( A ) \lambda\in\sigma_{\mathrm{c}}(A) λ ∈ σ c ( A ) λ ∈ σ ( A ) \lambda\in\sigma(A) λ ∈ σ ( A ) λ \lambda λ
証明（定理 3.2） z = a + i b z=a+ib z = a + ib b ≠ 0 b\neq0 b = 0 ψ ∈ D ( A ) \psi\in D(A) ψ ∈ D ( A ) ∥ ( A − z ) ψ ∥ 2 = ∥ ( A − a ) ψ ∥ 2 + b 2 ∥ ψ ∥ 2 ≥ b 2 ∥ ψ ∥ 2 \|(A-z)\psi\|^2=\|(A-a)\psi\|^2+b^2\|\psi\|^2\ge b^2\|\psi\|^2 ∥ ( A − z ) ψ ∥ 2 = ∥ ( A − a ) ψ ∥ 2 + b 2 ∥ ψ ∥ 2 ≥ b 2 ∥ ψ ∥ 2 A − a A-a A − a A − z A-z A − z ( A − z ) ψ n (A-z)\psi_n ( A − z ) ψ n ψ n \psi_n ψ n R a n ( A − z ) ⊥ = K e r ( ( A − z ) ∗ ) = K e r ( A − z ˉ ) \mathrm{Ran}(A-z)^\perp=\mathrm{Ker}((A-z)^*)=\mathrm{Ker}(A-\bar z) Ran ( A − z ) ⊥ = Ker (( A − z ) ∗ ) = Ker ( A − z ˉ ) K e r ( A − z ˉ ) = { 0 } \mathrm{Ker}(A-\bar z)=\{0\} Ker ( A − z ˉ ) = { 0 } A − z A-z A − z z ∈ ρ ( A ) z\in\rho(A) z ∈ ρ ( A )
次に λ ∈ R \lambda\in\mathbb{R} λ ∈ R A − λ A-\lambda A − λ R a n ( A − λ ) ⊥ = K e r ( A − λ ) = { 0 } \mathrm{Ran}(A-\lambda)^\perp=\mathrm{Ker}(A-\lambda)=\{0\} Ran ( A − λ ) ⊥ = Ker ( A − λ ) = { 0 } λ ˉ = λ \bar\lambda=\lambda λ ˉ = λ λ \lambda λ λ ∈ σ ( A ) \lambda\in\sigma(A) λ ∈ σ ( A )
∎ 剰余スペクトルの有無は、作用素がその共役とどれだけずれているかを測っています。上の証明で使ったのは A ∗ = A A^*=A A ∗ = A
次の例は、A ∗ = A A^*=A A ∗ = A 対称作用素 では実際に剰余スペクトルが現れる、という確認です。P 0 ∗ P_0^* P 0 ∗ e i z ˉ x e^{i\bar zx} e i z ˉ x L 2 ( 0 , ∞ ) L^2(0,\infty) L 2 ( 0 , ∞ ) x → ∞ x\to\infty x → ∞ ∣ e i z ˉ x ∣ = e b x |e^{i\bar zx}|=e^{bx} ∣ e i z ˉ x ∣ = e b x b < 0 b\lt0 b < 0
例 3.3 （対称作用素の剰余スペクトル ）
前章 例 4.4［スペクトル定理と関数計算］ の P 0 = − i d / d x P_0=-i\,\mathrm{d}/\mathrm{d}x P 0 = − i d / d x L 2 ( 0 , ∞ ) L^2(0,\infty) L 2 ( 0 , ∞ ) u ( 0 ) = 0 u(0)=0 u ( 0 ) = 0 z = a + i b z=a+ib z = a + ib
K e r ( P 0 − z ) \mathrm{Ker}(P_0-z) Ker ( P 0 − z ) − i u ′ = z u -iu'=zu − i u ′ = z u u = c e i z x u=ce^{izx} u = c e i z x u ( 0 ) = c u(0)=c u ( 0 ) = c c = 0 c=0 c = 0 P 0 P_0 P 0 R a n ( P 0 − z ) ⊥ = K e r ( P 0 ∗ − z ˉ ) \mathrm{Ran}(P_0-z)^\perp=\mathrm{Ker}(P_0^*-\bar z) Ran ( P 0 − z ) ⊥ = Ker ( P 0 ∗ − z ˉ ) P 0 ∗ P_0^* P 0 ∗ − i d / d x -i\,\mathrm{d}/\mathrm{d}x − i d / d x e i z ˉ x e^{i\bar zx} e i z ˉ x L 2 ( 0 , ∞ ) L^2(0,\infty) L 2 ( 0 , ∞ ) ∣ e i z ˉ x ∣ = e b x |e^{i\bar zx}|=e^{bx} ∣ e i z ˉ x ∣ = e b x b < 0 b\lt0 b < 0 よって I m z < 0 \mathrm{Im}\,z\lt0 Im z < 0 z z z I m z > 0 \mathrm{Im}\,z\gt0 Im z > 0 z ∈ ρ ( P 0 ) z\in\rho(P_0) z ∈ ρ ( P 0 ) σ ( P 0 ) \sigma(P_0) σ ( P 0 ) σ ( P 0 ) \sigma(P_0) σ ( P 0 ) b = 0 b=0 b = 0 ∣ e i z ˉ x ∣ = 1 |e^{i\bar zx}|=1 ∣ e i z ˉ x ∣ = 1 L 2 ( 0 , ∞ ) L^2(0,\infty) L 2 ( 0 , ∞ ) σ ( P 0 ) = { I m z ≤ 0 } \sigma(P_0)=\{\mathrm{Im}\,z\le0\} σ ( P 0 ) = { Im z ≤ 0 } σ r ( P 0 ) = { I m z < 0 } \sigma_{\mathrm{r}}(P_0)=\{\mathrm{Im}\,z\lt0\} σ r ( P 0 ) = { Im z < 0 } 定理 3.2 は成り立ちません。
この節では、各ベクトル ψ \psi ψ μ ψ \mu_\psi μ ψ ルベーグ測度 に絶対連続な部分・その残りの 3 つに分け、その分け方に合わせて空間そのものを 3 つの直交する部分空間に分けます。下の定理の証明は、ベクトルごとの測度の分解を、空間の分解に移す作業です。「簡約する」とは、部分空間とその直交補空間のそれぞれが作用素で自分自身に移る（作用素が 2 つの部分に独立に作用する）ことです。
以下、A A A R \mathbb{R} R ν \nu ν ∣ ⋅ ∣ |\cdot| ∣ ⋅ ∣
ν = ν p p + ν a c + ν s c \nu=\nu_{\mathrm{pp}}+\nu_{\mathrm{ac}}+\nu_{\mathrm{sc}} ν = ν pp + ν ac + ν sc と分解されます。ν p p \nu_{\mathrm{pp}} ν pp ν a c \nu_{\mathrm{ac}} ν ac ν s c \nu_{\mathrm{sc}} ν sc ルベーグ測度 の Lebesgue 分解と、特異部分から原子を取り除く操作の組み合わせです）。
定義 4.1 （純点・絶対連続・特異連続部分空間 ） ↗
自己共役作用素 A A A
H p p = { ψ ∈ H : μ ψ は純点測度 } , H a c = { ψ ∈ H : μ ψ は Lebesgue 測度に関して絶対連続 } , H s c = { ψ ∈ H : μ ψ は特異連続 } \begin{aligned}
\mathcal{H}_{\mathrm{pp}}&=\{\psi\in\mathcal{H}:\mu_\psi\text{ は純点測度}\},\\
\mathcal{H}_{\mathrm{ac}}&=\{\psi\in\mathcal{H}:\mu_\psi\text{ は Lebesgue 測度に関して絶対連続}\},\\
\mathcal{H}_{\mathrm{sc}}&=\{\psi\in\mathcal{H}:\mu_\psi\text{ は特異連続}\}
\end{aligned} H pp H ac H sc = { ψ ∈ H : μ ψ は純点測度 } , = { ψ ∈ H : μ ψ は Lebesgue 測度に関して絶対連続 } , = { ψ ∈ H : μ ψ は特異連続 } と定める。また H c = { ψ : μ ψ は原子を持たない } \mathcal{H}_{\mathrm{c}}=\{\psi:\mu_\psi\text{ は原子を持たない}\} H c = { ψ : μ ψ は原子を持たない }
定理 4.2 （スペクトル部分空間への直和分解 ） ✓
A A A
H p p \mathcal{H}_{\mathrm{pp}} H pp H a c \mathcal{H}_{\mathrm{ac}} H ac H s c \mathcal{H}_{\mathrm{sc}} H sc H = H p p ⊕ H a c ⊕ H s c \mathcal{H}=\mathcal{H}_{\mathrm{pp}}\oplus\mathcal{H}_{\mathrm{ac}}\oplus\mathcal{H}_{\mathrm{sc}} H = H pp ⊕ H ac ⊕ H sc H c = H a c ⊕ H s c \mathcal{H}_{\mathrm{c}}=\mathcal{H}_{\mathrm{ac}}\oplus\mathcal{H}_{\mathrm{sc}} H c = H ac ⊕ H sc 各部分空間はすべての E A ( B ) E_A(B) E A ( B ) A A A A = A p p ⊕ A a c ⊕ A s c A=A_{\mathrm{pp}}\oplus A_{\mathrm{ac}}\oplus A_{\mathrm{sc}} A = A pp ⊕ A ac ⊕ A sc A ∙ = A ∣ D ( A ) ∩ H ∙ A_\bullet=A|_{D(A)\cap\mathcal{H}_\bullet} A ∙ = A ∣ D ( A ) ∩ H ∙ H ∙ \mathcal{H}_\bullet H ∙
H p p \mathcal{H}_{\mathrm{pp}} H pp A A A 証明（定理 4.2） 部分空間であること. B B B μ ψ + φ ( B ) = ∥ E A ( B ) ( ψ + φ ) ∥ 2 ≤ 2 μ ψ ( B ) + 2 μ φ ( B ) \mu_{\psi+\varphi}(B)=\|E_A(B)(\psi+\varphi)\|^2\le2\mu_\psi(B)+2\mu_\varphi(B) μ ψ + φ ( B ) = ∥ E A ( B ) ( ψ + φ ) ∥ 2 ≤ 2 μ ψ ( B ) + 2 μ φ ( B ) ψ , φ ∈ H a c \psi,\varphi\in\mathcal{H}_{\mathrm{ac}} ψ , φ ∈ H ac N N N 0 0 0 ψ + φ ∈ H a c \psi+\varphi\in\mathcal{H}_{\mathrm{ac}} ψ + φ ∈ H ac ψ , φ ∈ H p p \psi,\varphi\in\mathcal{H}_{\mathrm{pp}} ψ , φ ∈ H pp C 1 , C 2 C_1,C_2 C 1 , C 2 μ ψ + φ ( R ∖ ( C 1 ∪ C 2 ) ) = 0 \mu_{\psi+\varphi}(\mathbb{R}\setminus(C_1\cup C_2))=0 μ ψ + φ ( R ∖ ( C 1 ∪ C 2 )) = 0 B = { λ } B=\{\lambda\} B = { λ }
閉であること. μ ψ ( B ) 1 / 2 = ∥ E A ( B ) ψ ∥ \mu_\psi(B)^{1/2}=\|E_A(B)\psi\| μ ψ ( B ) 1/2 = ∥ E A ( B ) ψ ∥ ∣ μ ψ n ( B ) 1 / 2 − μ ψ ( B ) 1 / 2 ∣ ≤ ∥ ψ n − ψ ∥ |\mu_{\psi_n}(B)^{1/2}-\mu_\psi(B)^{1/2}|\le\|\psi_n-\psi\| ∣ μ ψ n ( B ) 1/2 − μ ψ ( B ) 1/2 ∣ ≤ ∥ ψ n − ψ ∥ ψ n ∈ H a c \psi_n\in\mathcal{H}_{\mathrm{ac}} ψ n ∈ H ac ψ n → ψ \psi_n\to\psi ψ n → ψ N N N μ ψ ( N ) = lim μ ψ n ( N ) = 0 \mu_\psi(N)=\lim\mu_{\psi_n}(N)=0 μ ψ ( N ) = lim μ ψ n ( N ) = 0 H p p \mathcal{H}_{\mathrm{pp}} H pp ψ n \psi_n ψ n C C C μ ψ ( R ∖ C ) = 0 \mu_\psi(\mathbb{R}\setminus C)=0 μ ψ ( R ∖ C ) = 0 H s c \mathcal{H}_{\mathrm{sc}} H sc
直交性. ψ ∈ H p p \psi\in\mathcal{H}_{\mathrm{pp}} ψ ∈ H pp φ ∈ H c \varphi\in\mathcal{H}_{\mathrm{c}} φ ∈ H c μ ψ \mu_\psi μ ψ C C C ∥ E A ( R ∖ C ) ψ ∥ 2 = 0 \|E_A(\mathbb{R}\setminus C)\psi\|^2=0 ∥ E A ( R ∖ C ) ψ ∥ 2 = 0 E A ( C ) ψ = ψ E_A(C)\psi=\psi E A ( C ) ψ = ψ μ φ \mu_\varphi μ φ μ φ ( C ) = 0 \mu_\varphi(C)=0 μ φ ( C ) = 0 E A ( C ) φ = 0 E_A(C)\varphi=0 E A ( C ) φ = 0 ⟨ ψ , φ ⟩ = ⟨ E A ( C ) ψ , φ ⟩ = ⟨ ψ , E A ( C ) φ ⟩ = 0 \langle\psi,\varphi\rangle=\langle E_A(C)\psi,\varphi\rangle=\langle\psi,E_A(C)\varphi\rangle=0 ⟨ ψ , φ ⟩ = ⟨ E A ( C ) ψ , φ ⟩ = ⟨ ψ , E A ( C ) φ ⟩ = 0 H a c ⊥ H s c \mathcal{H}_{\mathrm{ac}}\perp\mathcal{H}_{\mathrm{sc}} H ac ⊥ H sc H s c \mathcal{H}_{\mathrm{sc}} H sc N N N
分解. ψ ∈ H \psi\in\mathcal{H} ψ ∈ H μ ψ = ν p p + ν a c + ν s c \mu_\psi=\nu_{\mathrm{pp}}+\nu_{\mathrm{ac}}+\nu_{\mathrm{sc}} μ ψ = ν pp + ν ac + ν sc S p p S_{\mathrm{pp}} S pp ν p p \nu_{\mathrm{pp}} ν pp S s c S_{\mathrm{sc}} S sc ν s c \nu_{\mathrm{sc}} ν sc S a c = R ∖ ( S p p ∪ S s c ) S_{\mathrm{ac}}=\mathbb{R}\setminus(S_{\mathrm{pp}}\cup S_{\mathrm{sc}}) S ac = R ∖ ( S pp ∪ S sc ) ν a c \nu_{\mathrm{ac}} ν ac S p p ∪ S s c S_{\mathrm{pp}}\cup S_{\mathrm{sc}} S pp ∪ S sc ν s c \nu_{\mathrm{sc}} ν sc S p p S_{\mathrm{pp}} S pp μ ψ \mu_\psi μ ψ S ∙ S_\bullet S ∙ ν ∙ \nu_\bullet ν ∙ μ E A ( S ) ψ = μ ψ ( ⋅ ∩ S ) \mu_{E_A(S)\psi}=\mu_\psi(\cdot\cap S) μ E A ( S ) ψ = μ ψ ( ⋅ ∩ S ) ψ ∙ = E A ( S ∙ ) ψ \psi_\bullet=E_A(S_\bullet)\psi ψ ∙ = E A ( S ∙ ) ψ H ∙ \mathcal{H}_\bullet H ∙ ψ = ψ p p + ψ a c + ψ s c \psi=\psi_{\mathrm{pp}}+\psi_{\mathrm{ac}}+\psi_{\mathrm{sc}} ψ = ψ pp + ψ ac + ψ sc H c \mathcal{H}_{\mathrm{c}} H c
2. ψ ∈ H ∙ \psi\in\mathcal{H}_\bullet ψ ∈ H ∙ μ E A ( B ) ψ = μ ψ ( ⋅ ∩ B ) \mu_{E_A(B)\psi}=\mu_\psi(\cdot\cap B) μ E A ( B ) ψ = μ ψ ( ⋅ ∩ B ) μ ψ \mu_\psi μ ψ E A ( B ) E_A(B) E A ( B ) P ∙ P_\bullet P ∙ E A ( B ) E_A(B) E A ( B ) P ∙ P_\bullet P ∙ A A A P ∙ A ⊂ A P ∙ P_\bullet A\subset AP_\bullet P ∙ A ⊂ A P ∙ 命題 7.2［スペクトル定理と関数計算］ の最後の主張）であり、A A A
3. A ψ = λ ψ A\psi=\lambda\psi A ψ = λ ψ μ ψ \mu_\psi μ ψ { λ } \{\lambda\} { λ } ∥ ( A − λ ) ψ ∥ 2 = ∫ ∣ t − λ ∣ 2 d μ ψ ( t ) \|(A-\lambda)\psi\|^2=\int|t-\lambda|^2\,\mathrm{d}\mu_\psi(t) ∥ ( A − λ ) ψ ∥ 2 = ∫ ∣ t − λ ∣ 2 d μ ψ ( t ) H p p \mathcal{H}_{\mathrm{pp}} H pp ψ ∈ H p p \psi\in\mathcal{H}_{\mathrm{pp}} ψ ∈ H pp C = { c 1 , c 2 , … } C=\{c_1,c_2,\ldots\} C = { c 1 , c 2 , … } ψ = E A ( C ) ψ = ∑ k E A ( { c k } ) ψ \psi=E_A(C)\psi=\sum_kE_A(\{c_k\})\psi ψ = E A ( C ) ψ = ∑ k E A ({ c k }) ψ 0 0 0 c k c_k c k
∎ 定義 4.3 （純点・絶対連続・特異連続スペクトル ） ↗
自己共役作用素 A A A σ p p ( A ) = σ ( A p p ) \sigma_{\mathrm{pp}}(A)=\sigma(A_{\mathrm{pp}}) σ pp ( A ) = σ ( A pp ) σ a c ( A ) = σ ( A a c ) \sigma_{\mathrm{ac}}(A)=\sigma(A_{\mathrm{ac}}) σ ac ( A ) = σ ( A ac ) σ s c ( A ) = σ ( A s c ) \sigma_{\mathrm{sc}}(A)=\sigma(A_{\mathrm{sc}}) σ sc ( A ) = σ ( A sc ) σ c o n t ( A ) = σ ( A ∣ H c ) \sigma_{\mathrm{cont}}(A)=\sigma(A|_{\mathcal{H}_{\mathrm{c}}}) σ cont ( A ) = σ ( A ∣ H c ) { 0 } \{0\} { 0 }
系 4.4 （スペクトルの合併表示 ） ✓
σ ( A ) = σ p p ( A ) ∪ σ a c ( A ) ∪ σ s c ( A ) \sigma(A)=\sigma_{\mathrm{pp}}(A)\cup\sigma_{\mathrm{ac}}(A)\cup\sigma_{\mathrm{sc}}(A) σ ( A ) = σ pp ( A ) ∪ σ ac ( A ) ∪ σ sc ( A ) σ p p ( A ) = σ p ( A ) ‾ \sigma_{\mathrm{pp}}(A)=\overline{\sigma_{\mathrm{p}}(A)} σ pp ( A ) = σ p ( A )
この系の証明の方針は次のとおりです。前半は、直和に分けた作用素のレゾルベント（( A − z ) − 1 (A-z)^{-1} ( A − z ) − 1 ( A − z ) − 1 (A-z)^{-1} ( A − z ) − 1 z z z
証明（系 4.4） A = A 1 ⊕ A 2 A=A_1\oplus A_2 A = A 1 ⊕ A 2 ( A − z ) − 1 = ( A 1 − z ) − 1 ⊕ ( A 2 − z ) − 1 (A-z)^{-1}=(A_1-z)^{-1}\oplus(A_2-z)^{-1} ( A − z ) − 1 = ( A 1 − z ) − 1 ⊕ ( A 2 − z ) − 1 ρ ( A ) = ρ ( A 1 ) ∩ ρ ( A 2 ) \rho(A)=\rho(A_1)\cap\rho(A_2) ρ ( A ) = ρ ( A 1 ) ∩ ρ ( A 2 ) σ ( A ) = σ ( A 1 ) ∪ σ ( A 2 ) \sigma(A)=\sigma(A_1)\cup\sigma(A_2) σ ( A ) = σ ( A 1 ) ∪ σ ( A 2 ) 定理 4.2 の 2 にこれを 2 回使えば第 1 の主張を得ます。後半: A p p A_{\mathrm{pp}} A pp { e n } n ∈ J \{e_n\}_{n\in J} { e n } n ∈ J A p p e n = λ n e n A_{\mathrm{pp}}e_n=\lambda_ne_n A pp e n = λ n e n H \mathcal{H} H J J J 定理 4.2 の 3）。固有値はスペクトルに属し、スペクトルは閉なので { λ n } ‾ ⊂ σ ( A p p ) \overline{\{\lambda_n\}}\subset\sigma(A_{\mathrm{pp}}) { λ n } ⊂ σ ( A pp ) z z z { λ n } \{\lambda_n\} { λ n } d d d R = ∑ n ∈ J ( λ n − z ) − 1 ⟨ e n , ⋅ ⟩ e n R=\sum_{n\in J}(\lambda_n-z)^{-1}\langle e_n,\cdot\rangle e_n R = ∑ n ∈ J ( λ n − z ) − 1 ⟨ e n , ⋅ ⟩ e n ∥ R ∥ ≤ 1 / d \|R\|\le1/d ∥ R ∥ ≤ 1/ d ψ ∈ D ( A p p ) \psi\in D(A_{\mathrm{pp}}) ψ ∈ D ( A pp ) ⟨ e n , ( A p p − z ) ψ ⟩ = ( λ n − z ) ⟨ e n , ψ ⟩ \langle e_n,(A_{\mathrm{pp}}-z)\psi\rangle=(\lambda_n-z)\langle e_n,\psi\rangle ⟨ e n , ( A pp − z ) ψ ⟩ = ( λ n − z ) ⟨ e n , ψ ⟩ R ( A p p − z ) ψ = ψ R(A_{\mathrm{pp}}-z)\psi=\psi R ( A pp − z ) ψ = ψ φ \varphi φ ⟨ e n , φ ⟩ ≠ 0 \langle e_n,\varphi\rangle\ne0 ⟨ e n , φ ⟩ = 0 n n n n 1 , n 2 , … n_1,n_2,\ldots n 1 , n 2 , … R N φ = ∑ j ≤ N ( λ n j − z ) − 1 ⟨ e n j , φ ⟩ e n j R_N\varphi=\sum_{j\le N}(\lambda_{n_j}-z)^{-1}\langle e_{n_j},\varphi\rangle e_{n_j} R N φ = ∑ j ≤ N ( λ n j − z ) − 1 ⟨ e n j , φ ⟩ e n j D ( A p p ) D(A_{\mathrm{pp}}) D ( A pp ) ( A p p − z ) R N φ = ∑ j ≤ N ⟨ e n j , φ ⟩ e n j → φ (A_{\mathrm{pp}}-z)R_N\varphi=\sum_{j\le N}\langle e_{n_j},\varphi\rangle e_{n_j}\to\varphi ( A pp − z ) R N φ = ∑ j ≤ N ⟨ e n j , φ ⟩ e n j → φ R N φ → R φ R_N\varphi\to R\varphi R N φ → R φ A p p A_{\mathrm{pp}} A pp R φ ∈ D ( A p p ) R\varphi\in D(A_{\mathrm{pp}}) R φ ∈ D ( A pp ) ( A p p − z ) R φ = φ (A_{\mathrm{pp}}-z)R\varphi=\varphi ( A pp − z ) R φ = φ z ∈ ρ ( A p p ) z\in\rho(A_{\mathrm{pp}}) z ∈ ρ ( A pp ) σ ( A p p ) = { λ n } ‾ \sigma(A_{\mathrm{pp}})=\overline{\{\lambda_n\}} σ ( A pp ) = { λ n } A A A A p p A_{\mathrm{pp}} A pp
∎ この和集合は一般に互いに素ではありません。たとえば σ a c = [ 0 , 1 ] \sigma_{\mathrm{ac}}=[0,1] σ ac = [ 0 , 1 ] [ 0 , 1 ] [0,1] [ 0 , 1 ]
例 4.5 （稠密な点スペクトル：二つの「連続スペクトル」の違い ）
{ q n } \{q_n\} { q n } [ 0 , 1 ] [0,1] [ 0 , 1 ] ℓ 2 ( N ) \ell^2(\mathbb{N}) ℓ 2 ( N ) A e n = q n e n Ae_n=q_ne_n A e n = q n e n A A A H = H p p \mathcal{H}=\mathcal{H}_{\mathrm{pp}} H = H pp H c = { 0 } \mathcal{H}_{\mathrm{c}}=\{0\} H c = { 0 } σ ( A ) = σ p p ( A ) = [ 0 , 1 ] \sigma(A)=\sigma_{\mathrm{pp}}(A)=[0,1] σ ( A ) = σ pp ( A ) = [ 0 , 1 ] λ ∈ [ 0 , 1 ] \lambda\in[0,1] λ ∈ [ 0 , 1 ] 定理 3.2 より λ ∈ σ c ( A ) \lambda\in\sigma_{\mathrm{c}}(A) λ ∈ σ c ( A )
つまり σ c ( A ) = [ 0 , 1 ] ∖ Q \sigma_{\mathrm{c}}(A)=[0,1]\setminus\mathbb{Q} σ c ( A ) = [ 0 , 1 ] ∖ Q { 0 } \{0\} { 0 } σ c o n t ( A ) = ∅ \sigma_{\mathrm{cont}}(A)=\emptyset σ cont ( A ) = ∅ 定義 3.1 の「連続スペクトル」と 定義 4.3 の σ c o n t \sigma_{\mathrm{cont}} σ cont
例 4.6 （掛け算作用素とスペクトルの型 ）
ν \nu ν R \mathbb{R} R L 2 ( R , ν ) L^2(\mathbb{R},\nu) L 2 ( R , ν ) ( A g ) ( λ ) = λ g ( λ ) (Ag)(\lambda)=\lambda g(\lambda) ( A g ) ( λ ) = λ g ( λ ) μ g = ∣ g ∣ 2 ν \mu_g=|g|^2\nu μ g = ∣ g ∣ 2 ν ν = ν p p + ν a c + ν s c \nu=\nu_{\mathrm{pp}}+\nu_{\mathrm{ac}}+\nu_{\mathrm{sc}} ν = ν pp + ν ac + ν sc σ ∙ ( A ) = s u p p ν ∙ \sigma_\bullet(A)=\mathrm{supp}\,\nu_\bullet σ ∙ ( A ) = supp ν ∙ ν \nu ν [ 0 , 1 ] [0,1] [ 0 , 1 ] δ 2 \delta_2 δ 2 [ 3 , 4 ] [3,4] [ 3 , 4 ] σ a c = [ 0 , 1 ] \sigma_{\mathrm{ac}}=[0,1] σ ac = [ 0 , 1 ] σ p p = { 2 } \sigma_{\mathrm{pp}}=\{2\} σ pp = { 2 } σ s c = 3 + K \sigma_{\mathrm{sc}}=3+K σ sc = 3 + K K K K
例 4.7 （ラプラシアンは純粋に絶対連続 ）
H = L 2 ( R d ) \mathcal{H}=L^2(\mathbb{R}^d) H = L 2 ( R d ) − Δ -\Delta − Δ H 2 ( R d ) H^2(\mathbb{R}^d) H 2 ( R d ) ∣ k ∣ 2 |k|^2 ∣ k ∣ 2 μ ψ ( B ) = ∫ { ∣ k ∣ 2 ∈ B } ∣ ψ ^ ( k ) ∣ 2 d k \mu_\psi(B)=\int_{\{|k|^2\in B\}}|\hat\psi(k)|^2\,\mathrm{d}k μ ψ ( B ) = ∫ { ∣ k ∣ 2 ∈ B } ∣ ψ ^ ( k ) ∣ 2 d k N ⊂ [ 0 , ∞ ) N\subset[0,\infty) N ⊂ [ 0 , ∞ ) { k : ∣ k ∣ 2 ∈ N } \{k:|k|^2\in N\} { k : ∣ k ∣ 2 ∈ N } R d \mathbb{R}^d R d H = H a c \mathcal{H}=\mathcal{H}_{\mathrm{ac}} H = H ac σ ( − Δ ) = σ a c ( − Δ ) = [ 0 , ∞ ) \sigma(-\Delta)=\sigma_{\mathrm{ac}}(-\Delta)=[0,\infty) σ ( − Δ ) = σ ac ( − Δ ) = [ 0 , ∞ )
定義 5.1 （離散スペクトルと本質スペクトル ） ↗
自己共役作用素 A A A λ ∈ σ ( A ) \lambda\in\sigma(A) λ ∈ σ ( A ) σ ( A ) \sigma(A) σ ( A ) dim R a n E A ( { λ } ) < ∞ \dim\mathrm{Ran}\,E_A(\{\lambda\})\lt\infty dim Ran E A ({ λ }) < ∞ λ \lambda λ 離散スペクトル σ d i s c ( A ) \sigma_{\mathrm{disc}}(A) σ disc ( A ) σ e s s ( A ) = σ ( A ) ∖ σ d i s c ( A ) \sigma_{\mathrm{ess}}(A)=\sigma(A)\setminus\sigma_{\mathrm{disc}}(A) σ ess ( A ) = σ ( A ) ∖ σ disc ( A ) 本質スペクトル という。
孤立点 λ \lambda λ E A ( { λ } ) = E A ( ( λ − ε , λ + ε ) ) ≠ 0 E_A(\{\lambda\})=E_A((\lambda-\varepsilon,\lambda+\varepsilon))\neq0 E A ({ λ }) = E A (( λ − ε , λ + ε )) = 0 命題 5.6［スペクトル定理と関数計算］ ）なので、離散スペクトルの点は有限多重度の固有値です。
命題 5.2 （本質スペクトルのスペクトル射影による特徴づけ ） ✓
自己共役作用素 A A A λ ∈ R \lambda\in\mathbb{R} λ ∈ R λ ∈ σ e s s ( A ) \lambda\in\sigma_{\mathrm{ess}}(A) λ ∈ σ ess ( A ) ε > 0 \varepsilon\gt0 ε > 0 dim R a n E A ( ( λ − ε , λ + ε ) ) = ∞ \dim\mathrm{Ran}\,E_A((\lambda-\varepsilon,\lambda+\varepsilon))=\infty dim Ran E A (( λ − ε , λ + ε )) = ∞ σ e s s ( A ) \sigma_{\mathrm{ess}}(A) σ ess ( A )
証明（命題 5.2） ある ε > 0 \varepsilon\gt0 ε > 0 J = ( λ − ε , λ + ε ) J=(\lambda-\varepsilon,\lambda+\varepsilon) J = ( λ − ε , λ + ε ) K = R a n E A ( J ) \mathcal{K}=\mathrm{Ran}\,E_A(J) K = Ran E A ( J ) K \mathcal{K} K A A A A ∣ K A|_{\mathcal{K}} A ∣ K λ 1 , … , λ m ∈ J \lambda_1,\ldots,\lambda_m\in J λ 1 , … , λ m ∈ J E A ( J ∖ { λ 1 , … , λ m } ) E_A(J\setminus\{\lambda_1,\ldots,\lambda_m\}) E A ( J ∖ { λ 1 , … , λ m }) K \mathcal{K} K K \mathcal{K} K 0 0 0 0 0 0 命題 5.6［スペクトル定理と関数計算］ から σ ( A ) ∩ J ⊂ { λ 1 , … , λ m } \sigma(A)\cap J\subset\{\lambda_1,\ldots,\lambda_m\} σ ( A ) ∩ J ⊂ { λ 1 , … , λ m } λ \lambda λ σ ( A ) \sigma(A) σ ( A ) E A ( { λ } ) E_A(\{\lambda\}) E A ({ λ }) K \mathcal{K} K λ ∉ σ e s s ( A ) \lambda\notin\sigma_{\mathrm{ess}}(A) λ ∈ / σ ess ( A )
逆に λ ∉ σ e s s ( A ) \lambda\notin\sigma_{\mathrm{ess}}(A) λ ∈ / σ ess ( A ) λ ∉ σ ( A ) \lambda\notin\sigma(A) λ ∈ / σ ( A ) J J J E A ( J ) = 0 E_A(J)=0 E A ( J ) = 0 λ ∈ σ d i s c ( A ) \lambda\in\sigma_{\mathrm{disc}}(A) λ ∈ σ disc ( A ) σ ( A ) ∩ J = { λ } \sigma(A)\cap J=\{\lambda\} σ ( A ) ∩ J = { λ } J J J E A ( J ∖ { λ } ) = 0 E_A(J\setminus\{\lambda\})=0 E A ( J ∖ { λ }) = 0 E A ( R ∖ σ ( A ) ) = 0 E_A(\mathbb{R}\setminus\sigma(A))=0 E A ( R ∖ σ ( A )) = 0 E A ( J ) = E A ( { λ } ) E_A(J)=E_A(\{\lambda\}) E A ( J ) = E A ({ λ })
閉集合であること: 補集合の点 λ \lambda λ dim R a n E A ( ( λ − ε , λ + ε ) ) < ∞ \dim\mathrm{Ran}\,E_A((\lambda-\varepsilon,\lambda+\varepsilon))\lt\infty dim Ran E A (( λ − ε , λ + ε )) < ∞ ∣ μ − λ ∣ < ε / 2 |\mu-\lambda|\lt\varepsilon/2 ∣ μ − λ ∣ < ε /2 μ \mu μ ( μ − ε / 2 , μ + ε / 2 ) (\mu-\varepsilon/2,\mu+\varepsilon/2) ( μ − ε /2 , μ + ε /2 ) 命題 3.2［スペクトル定理と関数計算］ の 1 から射影の値域も含まれるので有限次元です。
∎ 定義 5.3 （Weyl 列 ） ↗
自己共役作用素 A A A λ ∈ R \lambda\in\mathbb{R} λ ∈ R ψ n ∈ D ( A ) \psi_n\in D(A) ψ n ∈ D ( A ) ∥ ψ n ∥ = 1 \|\psi_n\|=1 ∥ ψ n ∥ = 1 ∥ ( A − λ ) ψ n ∥ → 0 \|(A-\lambda)\psi_n\|\to0 ∥ ( A − λ ) ψ n ∥ → 0 λ \lambda λ A A A Weyl 列 という。さらに ψ n \psi_n ψ n 0 0 0 特異 Weyl 列 という。
定理 5.4 （Weyl の判定法 ） ✓
A A A λ ∈ R \lambda\in\mathbb{R} λ ∈ R
λ ∈ σ ( A ) \lambda\in\sigma(A) λ ∈ σ ( A ) λ \lambda λ λ ∈ σ e s s ( A ) \lambda\in\sigma_{\mathrm{ess}}(A) λ ∈ σ ess ( A ) λ \lambda λ 証明（定理 5.4） 1. 前章 命題 5.6［スペクトル定理と関数計算］ の 1 ⇔ 3 そのものです。
2. 必要性: λ ∈ σ e s s ( A ) \lambda\in\sigma_{\mathrm{ess}}(A) λ ∈ σ ess ( A ) J n = ( λ − 1 / n , λ + 1 / n ) J_n=(\lambda-1/n,\lambda+1/n) J n = ( λ − 1/ n , λ + 1/ n ) 命題 5.2 より各 R a n E A ( J n ) \mathrm{Ran}\,E_A(J_n) Ran E A ( J n ) ψ n ∈ R a n E A ( J n ) \psi_n\in\mathrm{Ran}\,E_A(J_n) ψ n ∈ Ran E A ( J n ) ∥ ψ n ∥ = 1 \|\psi_n\|=1 ∥ ψ n ∥ = 1 ψ 1 , … , ψ n − 1 \psi_1,\ldots,\psi_{n-1} ψ 1 , … , ψ n − 1 { 0 } \{0\} { 0 } μ ψ n \mu_{\psi_n} μ ψ n J n J_n J n ψ n ∈ D ( A ) \psi_n\in D(A) ψ n ∈ D ( A )
∥ ( A − λ ) ψ n ∥ 2 = ∫ J n ∣ t − λ ∣ 2 d μ ψ n ( t ) ≤ 1 n 2 \|(A-\lambda)\psi_n\|^2=\int_{J_n}|t-\lambda|^2\,\mathrm{d}\mu_{\psi_n}(t)\le\frac{1}{n^2} ∥ ( A − λ ) ψ n ∥ 2 = ∫ J n ∣ t − λ ∣ 2 d μ ψ n ( t ) ≤ n 2 1 です。正規直交系は Bessel の不等式 ∑ n ∣ ⟨ φ , ψ n ⟩ ∣ 2 ≤ ∥ φ ∥ 2 \sum_n|\langle\varphi,\psi_n\rangle|^2\le\|\varphi\|^2 ∑ n ∣ ⟨ φ , ψ n ⟩ ∣ 2 ≤ ∥ φ ∥ 2 0 0 0
十分性: 特異 Weyl 列 ψ n \psi_n ψ n λ ∉ σ e s s ( A ) \lambda\notin\sigma_{\mathrm{ess}}(A) λ ∈ / σ ess ( A ) λ ∈ σ ( A ) \lambda\in\sigma(A) λ ∈ σ ( A ) λ ∈ σ d i s c ( A ) \lambda\in\sigma_{\mathrm{disc}}(A) λ ∈ σ disc ( A ) P = E A ( { λ } ) P=E_A(\{\lambda\}) P = E A ({ λ }) ε > 0 \varepsilon\gt0 ε > 0 E A ( J ∖ { λ } ) = 0 E_A(J\setminus\{\lambda\})=0 E A ( J ∖ { λ }) = 0 J = ( λ − ε , λ + ε ) J=(\lambda-\varepsilon,\lambda+\varepsilon) J = ( λ − ε , λ + ε ) P P P e 1 , … , e m e_1,\ldots,e_m e 1 , … , e m P ψ n = ∑ j ⟨ e j , ψ n ⟩ e j P\psi_n=\sum_j\langle e_j,\psi_n\rangle e_j P ψ n = ∑ j ⟨ e j , ψ n ⟩ e j ∥ P ψ n ∥ → 0 \|P\psi_n\|\to0 ∥ P ψ n ∥ → 0 1 − P = E A ( R ∖ J ) 1-P=E_A(\mathbb{R}\setminus J) 1 − P = E A ( R ∖ J )
∥ ( A − λ ) ψ n ∥ 2 ≥ ∫ R ∖ J ∣ t − λ ∣ 2 d μ ψ n ( t ) ≥ ε 2 ∥ ( 1 − P ) ψ n ∥ 2 \|(A-\lambda)\psi_n\|^2\ge\int_{\mathbb{R}\setminus J}|t-\lambda|^2\,\mathrm{d}\mu_{\psi_n}(t)\ge\varepsilon^2\|(1-P)\psi_n\|^2 ∥ ( A − λ ) ψ n ∥ 2 ≥ ∫ R ∖ J ∣ t − λ ∣ 2 d μ ψ n ( t ) ≥ ε 2 ∥ ( 1 − P ) ψ n ∥ 2 で、左辺が 0 0 0 ∥ ( 1 − P ) ψ n ∥ → 0 \|(1-P)\psi_n\|\to0 ∥ ( 1 − P ) ψ n ∥ → 0 ∥ ψ n ∥ → 0 \|\psi_n\|\to0 ∥ ψ n ∥ → 0 ∥ ψ n ∥ = 1 \|\psi_n\|=1 ∥ ψ n ∥ = 1
∎ Weyl の判定法の価値は、スペクトル射影を計算せずに、具体的な試験関数を作るだけで本質スペクトルの点を検出できることにあります。
ここまでに 3 通りの分類が出てきたので、関係を表にまとめておきます。どの分類も自己共役作用素 A A A σ ( A ) \sigma(A) σ ( A )
分類 何で決まるか 摂動に対する性質 点・連続（・剰余） A − λ A-\lambda A − λ 固有値は階数 1 の摂動でも動く 純点・絶対連続・特異連続 スペクトル測度 μ ψ \mu_\psi μ ψ 絶対連続部分はトレースクラス摂動で保たれるが、コンパクト摂動では保たれない 離散・本質 スペクトル部分空間の次元と孤立性 本質スペクトルは相対コンパクト摂動で保たれる
たとえば固有値でも、無限多重度なら本質スペクトルに属します。逆に本質スペクトルの点が固有値でないとは限らず、例 4.5 のように本質スペクトル [ 0 , 1 ] [0,1] [ 0 , 1 ]
例 5.5 （ラプラシアンの Weyl 列 ）
χ ∈ C c ∞ ( R d ) \chi\in C_c^\infty(\mathbb{R}^d) χ ∈ C c ∞ ( R d ) ∥ χ ∥ = 1 \|\chi\|=1 ∥ χ ∥ = 1 λ ≥ 0 \lambda\ge0 λ ≥ 0 ∣ k ∣ 2 = λ |k|^2=\lambda ∣ k ∣ 2 = λ
ψ n ( x ) = n − d / 2 χ ( x / n ) e i k ⋅ x \psi_n(x)=n^{-d/2}\chi(x/n)e^{ik\cdot x} ψ n ( x ) = n − d /2 χ ( x / n ) e ik ⋅ x と置きます。変数変換で ∥ ψ n ∥ = ∥ χ ∥ = 1 \|\psi_n\|=\|\chi\|=1 ∥ ψ n ∥ = ∥ χ ∥ = 1
( − Δ − λ ) ψ n ( x ) = n − d / 2 e i k ⋅ x ( − n − 2 ( Δ χ ) ( x / n ) − 2 i n − 1 k ⋅ ( ∇ χ ) ( x / n ) ) (-\Delta-\lambda)\psi_n(x)=n^{-d/2}e^{ik\cdot x}\Bigl(-n^{-2}(\Delta\chi)(x/n)-2in^{-1}k\cdot(\nabla\chi)(x/n)\Bigr) ( − Δ − λ ) ψ n ( x ) = n − d /2 e ik ⋅ x ( − n − 2 ( Δ χ ) ( x / n ) − 2 i n − 1 k ⋅ ( ∇ χ ) ( x / n ) ) なので ∥ ( − Δ − λ ) ψ n ∥ ≤ n − 2 ∥ Δ χ ∥ + 2 ∣ k ∣ n − 1 ∥ ∇ χ ∥ → 0 \|(-\Delta-\lambda)\psi_n\|\le n^{-2}\|\Delta\chi\|+2|k|n^{-1}\|\nabla\chi\|\to0 ∥ ( − Δ − λ ) ψ n ∥ ≤ n − 2 ∥Δ χ ∥ + 2∣ k ∣ n − 1 ∥∇ χ ∥ → 0 φ ∈ C c ( R d ) \varphi\in C_c(\mathbb{R}^d) φ ∈ C c ( R d ) ∣ ⟨ φ , ψ n ⟩ ∣ ≤ n − d / 2 ∥ χ ∥ ∞ ∥ φ ∥ L 1 → 0 |\langle\varphi,\psi_n\rangle|\le n^{-d/2}\|\chi\|_\infty\|\varphi\|_{L^1}\to0 ∣ ⟨ φ , ψ n ⟩ ∣ ≤ n − d /2 ∥ χ ∥ ∞ ∥ φ ∥ L 1 → 0 C c C_c C c ∥ ψ n ∥ = 1 \|\psi_n\|=1 ∥ ψ n ∥ = 1 ψ n ⇀ 0 \psi_n\rightharpoonup0 ψ n ⇀ 0 [ 0 , ∞ ) ⊂ σ e s s ( − Δ ) [0,\infty)\subset\sigma_{\mathrm{ess}}(-\Delta) [ 0 , ∞ ) ⊂ σ ess ( − Δ ) 例 4.7 と合わせて σ e s s ( − Δ ) = [ 0 , ∞ ) \sigma_{\mathrm{ess}}(-\Delta)=[0,\infty) σ ess ( − Δ ) = [ 0 , ∞ ) k k k
この節の主張は、「A A A A A A V V V − Δ -\Delta − Δ [ 0 , ∞ ) [0,\infty) [ 0 , ∞ )
補題 6.1 （コンパクト作用素は弱収束を強収束に変える ） ✓
K K K H \mathcal{H} H ψ n ⇀ ψ \psi_n\rightharpoonup\psi ψ n ⇀ ψ ∥ K ψ n − K ψ ∥ → 0 \|K\psi_n-K\psi\|\to0 ∥ K ψ n − K ψ ∥ → 0
証明（補題 6.1） 弱収束列は一様有界性原理により有界です。K K K ⟨ φ , K ψ n ⟩ = ⟨ K ∗ φ , ψ n ⟩ → ⟨ φ , K ψ ⟩ \langle\varphi,K\psi_n\rangle=\langle K^*\varphi,\psi_n\rangle\to\langle\varphi,K\psi\rangle ⟨ φ , K ψ n ⟩ = ⟨ K ∗ φ , ψ n ⟩ → ⟨ φ , K ψ ⟩ K ψ n ⇀ K ψ K\psi_n\rightharpoonup K\psi K ψ n ⇀ K ψ δ > 0 \delta\gt0 δ > 0 ∥ K ψ n j − K ψ ∥ ≥ δ \|K\psi_{n_j}-K\psi\|\ge\delta ∥ K ψ n j − K ψ ∥ ≥ δ K K K K ψ n j K\psi_{n_j} K ψ n j η \eta η η = K ψ \eta=K\psi η = K ψ ∥ K ψ n j − K ψ ∥ ≥ δ \|K\psi_{n_j}-K\psi\|\ge\delta ∥ K ψ n j − K ψ ∥ ≥ δ
∎ 定義 6.2 （相対コンパクト ） ↗
A A A V V V A A A A A A D ( A ) ⊂ D ( V ) D(A)\subset D(V) D ( A ) ⊂ D ( V ) z ∈ ρ ( A ) z\in\rho(A) z ∈ ρ ( A ) V ( A − z ) − 1 V(A-z)^{-1} V ( A − z ) − 1
この条件は z z z ( A − w ) − 1 = ( A − z ) − 1 + ( w − z ) ( A − z ) − 1 ( A − w ) − 1 (A-w)^{-1}=(A-z)^{-1}+(w-z)(A-z)^{-1}(A-w)^{-1} ( A − w ) − 1 = ( A − z ) − 1 + ( w − z ) ( A − z ) − 1 ( A − w ) − 1 V ( A − w ) − 1 = V ( A − z ) − 1 ( 1 + ( w − z ) ( A − w ) − 1 ) V(A-w)^{-1}=V(A-z)^{-1}\bigl(1+(w-z)(A-w)^{-1}\bigr) V ( A − w ) − 1 = V ( A − z ) − 1 ( 1 + ( w − z ) ( A − w ) − 1 ) V V V V ( A − z ) − 1 V(A-z)^{-1} V ( A − z ) − 1 A A A
定理 6.3 （Weyl の定理 ） ✓
A A A V V V D ( A ) ⊂ D ( V ) D(A)\subset D(V) D ( A ) ⊂ D ( V ) V V V A A A A + V A+V A + V D ( A ) D(A) D ( A )
σ e s s ( A + V ) = σ e s s ( A ) \sigma_{\mathrm{ess}}(A+V)=\sigma_{\mathrm{ess}}(A) σ ess ( A + V ) = σ ess ( A ) である。とくに V V V σ e s s ( A + V ) = σ e s s ( A ) \sigma_{\mathrm{ess}}(A+V)=\sigma_{\mathrm{ess}}(A) σ ess ( A + V ) = σ ess ( A )
証明は 2 つの包含に分かれます。前半は特異 Weyl 列がそのまま A + V A+V A + V A A A A + V A+V A + V − V -V − V − V -V − V A + V A+V A + V ( A − i ) ( B − i ) − 1 (A-i)(B-i)^{-1} ( A − i ) ( B − i ) − 1 V ( B − i ) − 1 V(B-i)^{-1} V ( B − i ) − 1 V ( A − i ) − 1 V(A-i)^{-1} V ( A − i ) − 1
証明（定理 6.3） σ e s s ( A ) ⊂ σ e s s ( A + V ) \sigma_{\mathrm{ess}}(A)\subset\sigma_{\mathrm{ess}}(A+V) σ ess ( A ) ⊂ σ ess ( A + V ) λ ∈ σ e s s ( A ) \lambda\in\sigma_{\mathrm{ess}}(A) λ ∈ σ ess ( A ) 定理 5.4 の 2 により特異 Weyl 列 ψ n \psi_n ψ n φ n = ( A − i ) ψ n = ( A − λ ) ψ n + ( λ − i ) ψ n \varphi_n=(A-i)\psi_n=(A-\lambda)\psi_n+(\lambda-i)\psi_n φ n = ( A − i ) ψ n = ( A − λ ) ψ n + ( λ − i ) ψ n 0 0 0 0 0 0 φ n ⇀ 0 \varphi_n\rightharpoonup0 φ n ⇀ 0 V ( A − i ) − 1 V(A-i)^{-1} V ( A − i ) − 1 定義 6.2 の直後の注意）、補題 6.1 から
∥ V ψ n ∥ = ∥ V ( A − i ) − 1 φ n ∥ → 0 \|V\psi_n\|=\|V(A-i)^{-1}\varphi_n\|\to0 ∥ V ψ n ∥ = ∥ V ( A − i ) − 1 φ n ∥ → 0 です。よって ∥ ( A + V − λ ) ψ n ∥ ≤ ∥ ( A − λ ) ψ n ∥ + ∥ V ψ n ∥ → 0 \|(A+V-\lambda)\psi_n\|\le\|(A-\lambda)\psi_n\|+\|V\psi_n\|\to0 ∥ ( A + V − λ ) ψ n ∥ ≤ ∥ ( A − λ ) ψ n ∥ + ∥ V ψ n ∥ → 0 ψ n \psi_n ψ n A + V A+V A + V 定理 5.4 の 2 より λ ∈ σ e s s ( A + V ) \lambda\in\sigma_{\mathrm{ess}}(A+V) λ ∈ σ ess ( A + V )
逆の包含. B = A + V B=A+V B = A + V A = B + ( − V ) A=B+(-V) A = B + ( − V ) − V -V − V D ( B ) = D ( A ) ⊂ D ( V ) D(B)=D(A)\subset D(V) D ( B ) = D ( A ) ⊂ D ( V ) − V -V − V B B B B B B − V -V − V σ e s s ( B ) ⊂ σ e s s ( A ) \sigma_{\mathrm{ess}}(B)\subset\sigma_{\mathrm{ess}}(A) σ ess ( B ) ⊂ σ ess ( A )
C = ( A − i ) ( B − i ) − 1 C=(A-i)(B-i)^{-1} C = ( A − i ) ( B − i ) − 1 ( B − i ) − 1 (B-i)^{-1} ( B − i ) − 1 D ( B ) = D ( A ) D(B)=D(A) D ( B ) = D ( A ) C C C H \mathcal{H} H C C C φ n → φ \varphi_n\to\varphi φ n → φ C φ n → η C\varphi_n\to\eta C φ n → η ( B − i ) − 1 φ n → ( B − i ) − 1 φ (B-i)^{-1}\varphi_n\to(B-i)^{-1}\varphi ( B − i ) − 1 φ n → ( B − i ) − 1 φ A − i A-i A − i ( A − i ) ( B − i ) − 1 φ = η (A-i)(B-i)^{-1}\varphi=\eta ( A − i ) ( B − i ) − 1 φ = η C C C
V ( B − i ) − 1 = V ( A − i ) − 1 ⋅ ( A − i ) ( B − i ) − 1 = V ( A − i ) − 1 C V(B-i)^{-1}=V(A-i)^{-1}\cdot(A-i)(B-i)^{-1}=V(A-i)^{-1}C V ( B − i ) − 1 = V ( A − i ) − 1 ⋅ ( A − i ) ( B − i ) − 1 = V ( A − i ) − 1 C はコンパクト作用素と有界作用素の積でコンパクトです。
最後の主張: V V V A + V A+V A + V D ( A ) D(A) D ( A ) ( A + V ) ∗ = A ∗ + V ∗ (A+V)^*=A^*+V^* ( A + V ) ∗ = A ∗ + V ∗ V V V A A A
∎ 例 6.5 （減衰するポテンシャルを持つシュレーディンガー作用素 ）
H = L 2 ( R 3 ) \mathcal{H}=L^2(\mathbb{R}^3) H = L 2 ( R 3 ) V = V 1 + V 2 V=V_1+V_2 V = V 1 + V 2 V 1 ∈ L 2 ( R 3 ) V_1\in L^2(\mathbb{R}^3) V 1 ∈ L 2 ( R 3 ) V 2 ∈ L ∞ ( R 3 ) V_2\in L^\infty(\mathbb{R}^3) V 2 ∈ L ∞ ( R 3 ) ∣ x ∣ → ∞ |x|\to\infty ∣ x ∣ → ∞ V 2 ( x ) → 0 V_2(x)\to0 V 2 ( x ) → 0
V 1 ( − Δ + 1 ) − 1 V_1(-\Delta+1)^{-1} V 1 ( − Δ + 1 ) − 1 V 1 ( x ) G ( x − y ) V_1(x)G(x-y) V 1 ( x ) G ( x − y ) G ( x ) = e − ∣ x ∣ / ( 4 π ∣ x ∣ ) G(x)=e^{-|x|}/(4\pi|x|) G ( x ) = e − ∣ x ∣ / ( 4 π ∣ x ∣ ) G ∈ L 2 ( R 3 ) G\in L^2(\mathbb{R}^3) G ∈ L 2 ( R 3 ) ∣ x ∣ − 2 |x|^{-2} ∣ x ∣ − 2 L 2 ( R 3 × R 3 ) L^2(\mathbb{R}^3\times\mathbb{R}^3) L 2 ( R 3 × R 3 ) ∥ V 1 ∥ ∥ G ∥ \|V_1\|\|G\| ∥ V 1 ∥∥ G ∥ V 2 V_2 V 2 V 2 1 { ∣ x ∣ ≤ R } ∈ L 2 V_2\mathbf{1}_{\{|x|\le R\}}\in L^2 V 2 1 { ∣ x ∣ ≤ R } ∈ L 2 V 2 1 { ∣ x ∣ ≤ R } ( − Δ + 1 ) − 1 V_2\mathbf{1}_{\{|x|\le R\}}(-\Delta+1)^{-1} V 2 1 { ∣ x ∣ ≤ R } ( − Δ + 1 ) − 1 R → ∞ R\to\infty R → ∞ V 2 ( − Δ + 1 ) − 1 V_2(-\Delta+1)^{-1} V 2 ( − Δ + 1 ) − 1 sup ∣ x ∣ > R ∣ V 2 ∣ \sup_{|x|\gt R}|V_2| sup ∣ x ∣ > R ∣ V 2 ∣ V V V ( − Δ ) (-\Delta) ( − Δ )
− Δ + V -\Delta+V − Δ + V H 2 ( R 3 ) H^2(\mathbb{R}^3) H 2 ( R 3 ) 注意 6.4 ）。定理 6.3 と 例 5.5 から σ e s s ( − Δ + V ) = [ 0 , ∞ ) \sigma_{\mathrm{ess}}(-\Delta+V)=[0,\infty) σ ess ( − Δ + V ) = [ 0 , ∞ ) 0 0 0 − 1 / ∣ x ∣ = − 1 { ∣ x ∣ ≤ 1 } / ∣ x ∣ − 1 { ∣ x ∣ > 1 } / ∣ x ∣ -1/|x|=-\mathbf{1}_{\{|x|\le1\}}/|x|-\mathbf{1}_{\{|x|\gt1\}}/|x| − 1/∣ x ∣ = − 1 { ∣ x ∣ ≤ 1 } /∣ x ∣ − 1 { ∣ x ∣ > 1 } /∣ x ∣ [ 0 , ∞ ) [0,\infty) [ 0 , ∞ )
例 6.6 （仮定を外すと壊れること ）
(a) コンパクトでない摂動. V = c V=c V = c c > 0 c\gt0 c > 0 σ e s s ( − Δ + c ) = [ c , ∞ ) \sigma_{\mathrm{ess}}(-\Delta+c)=[c,\infty) σ ess ( − Δ + c ) = [ c , ∞ ) Q Q Q σ e s s ( 0 ) = { 0 } \sigma_{\mathrm{ess}}(0)=\{0\} σ ess ( 0 ) = { 0 } σ e s s ( 0 + Q ) = { 0 , 1 } \sigma_{\mathrm{ess}}(0+Q)=\{0,1\} σ ess ( 0 + Q ) = { 0 , 1 }
(b) 離散スペクトルは安定でない. H = C ⊕ K \mathcal{H}=\mathbb{C}\oplus\mathcal{K} H = C ⊕ K A = 0 ⊕ A ′ A=0\oplus A' A = 0 ⊕ A ′ V = 1 ⊕ 0 V=1\oplus0 V = 1 ⊕ 0 0 0 0 1 1 1
(c) 絶対連続スペクトルはコンパクト摂動で保たれない. Weyl–von Neumann の定理により、可分な Hilbert 空間上の任意の自己共役作用素 A A A ε > 0 \varepsilon\gt0 ε > 0 ε \varepsilon ε K K K A + K A+K A + K − Δ -\Delta − Δ σ e s s \sigma_{\mathrm{ess}} σ ess 作用素の収束と摂動 の範囲です）。
自己共役作用素 H H H e − i t H e^{-itH} e − i t H
命題 7.1 （絶対連続部分の相関の減衰 ） ✓
ψ ∈ H a c ( H ) \psi\in\mathcal{H}_{\mathrm{ac}}(H) ψ ∈ H ac ( H ) φ ∈ H \varphi\in\mathcal{H} φ ∈ H ⟨ φ , e − i t H ψ ⟩ → 0 \langle\varphi,e^{-itH}\psi\rangle\to0 ⟨ φ , e − i t H ψ ⟩ → 0 ∣ t ∣ → ∞ |t|\to\infty ∣ t ∣ → ∞ ψ \psi ψ E E E ∣ ⟨ ψ , e − i t H ψ ⟩ ∣ = ∥ ψ ∥ 2 |\langle\psi,e^{-itH}\psi\rangle|=\|\psi\|^2 ∣ ⟨ ψ , e − i t H ψ ⟩ ∣ = ∥ ψ ∥ 2 t t t
証明（命題 7.1） 前章の関数計算から ⟨ φ , e − i t H ψ ⟩ = ∫ e − i t λ d μ φ , ψ ( λ ) \langle\varphi,e^{-itH}\psi\rangle=\int e^{-it\lambda}\,\mathrm{d}\mu_{\varphi,\psi}(\lambda) ⟨ φ , e − i t H ψ ⟩ = ∫ e − i t λ d μ φ , ψ ( λ ) 命題 3.2［スペクトル定理と関数計算］ の 3 の評価 ∣ μ φ , ψ ∣ ( B ) ≤ μ φ ( B ) 1 / 2 μ ψ ( B ) 1 / 2 |\mu_{\varphi,\psi}|(B)\le\mu_\varphi(B)^{1/2}\mu_\psi(B)^{1/2} ∣ μ φ , ψ ∣ ( B ) ≤ μ φ ( B ) 1/2 μ ψ ( B ) 1/2 B B B μ ψ ( B ) = 0 \mu_\psi(B)=0 μ ψ ( B ) = 0 ∣ μ φ , ψ ∣ ( B ) = 0 |\mu_{\varphi,\psi}|(B)=0 ∣ μ φ , ψ ∣ ( B ) = 0 μ φ , ψ \mu_{\varphi,\psi} μ φ , ψ ρ ∈ L 1 ( R ) \rho\in L^1(\mathbb{R}) ρ ∈ L 1 ( R ) ∫ e − i t λ ρ ( λ ) d λ → 0 \int e^{-it\lambda}\rho(\lambda)\,\mathrm{d}\lambda\to0 ∫ e − i t λ ρ ( λ ) d λ → 0 e − i t H ψ = e − i t E ψ e^{-itH}\psi=e^{-itE}\psi e − i t H ψ = e − i tE ψ 定理 6.2［スペクトル定理と関数計算］ で μ ψ = ∥ ψ ∥ 2 δ E \mu_\psi=\|\psi\|^2\delta_E μ ψ = ∥ ψ ∥ 2 δ E
∎ 例 7.2 （特異連続部分では相関が減衰しないことがある ）
例 4.6 の掛け算作用素で、ν \nu ν [ 0 , 1 ] [0,1] [ 0 , 1 ] 0 0 0 2 2 2 1 / 2 1/2 1/2 ψ = 1 \psi=1 ψ = 1 ⟨ ψ , e − i t A ψ ⟩ = ν ^ ( t ) : = ∫ e − i t λ d ν \langle\psi,e^{-itA}\psi\rangle=\hat\nu(t):=\int e^{-it\lambda}\,\mathrm{d}\nu ⟨ ψ , e − i t A ψ ⟩ = ν ^ ( t ) := ∫ e − i t λ d ν
ν ^ ( t ) = ∏ k = 1 ∞ 1 + e − 2 i t / 3 k 2 = e − i t / 2 ∏ k = 1 ∞ cos t 3 k \hat\nu(t)=\prod_{k=1}^\infty\frac{1+e^{-2it/3^k}}{2}=e^{-it/2}\prod_{k=1}^\infty\cos\frac{t}{3^k} ν ^ ( t ) = k = 1 ∏ ∞ 2 1 + e − 2 i t / 3 k = e − i t /2 k = 1 ∏ ∞ cos 3 k t です。t m = 3 m π t_m=3^m\pi t m = 3 m π k ≤ m k\le m k ≤ m cos ( 3 m − k π ) = − 1 \cos(3^{m-k}\pi)=-1 cos ( 3 m − k π ) = − 1 ∣ ν ^ ( t m ) ∣ = ∏ j = 1 ∞ cos ( π / 3 j ) = : c |\hat\nu(t_m)|=\prod_{j=1}^\infty\cos(\pi/3^j)=:c ∣ ν ^ ( t m ) ∣ = ∏ j = 1 ∞ cos ( π / 3 j ) =: c ∑ j ( 1 − cos ( π / 3 j ) ) < ∞ \sum_j(1-\cos(\pi/3^j))\lt\infty ∑ j ( 1 − cos ( π / 3 j )) < ∞ c > 0 c\gt0 c > 0 ν ^ ( t ) \hat\nu(t) ν ^ ( t ) t → ∞ t\to\infty t → ∞ 0 0 0 命題 7.1 を H c \mathcal{H}_{\mathrm{c}} H c
定理 7.3 （RAGE の定理 ） ✓
H H H { F R } R > 0 \{F_R\}_{R\gt0} { F R } R > 0 0 ≤ F R ≤ 1 0\le F_R\le1 0 ≤ F R ≤ 1 R → ∞ R\to\infty R → ∞ F R → 1 F_R\to1 F R → 1 R R R F R ( H + i ) − 1 F_R(H+i)^{-1} F R ( H + i ) − 1 L 2 ( R d ) L^2(\mathbb{R}^d) L 2 ( R d ) F R = 1 { ∣ x ∣ ≤ R } F_R=\mathbf{1}_{\{|x|\le R\}} F R = 1 { ∣ x ∣ ≤ R } H = − Δ + V H=-\Delta+V H = − Δ + V
H p p ( H ) = { ψ : lim R → ∞ sup t ∈ R ∥ ( 1 − F R ) e − i t H ψ ∥ = 0 } , H c ( H ) = { ψ : lim T → ∞ 1 T ∫ 0 T ∥ F R e − i t H ψ ∥ 2 d t = 0 がすべての R で成り立つ } \begin{aligned}
\mathcal{H}_{\mathrm{pp}}(H)&=\Bigl\{\psi:\lim_{R\to\infty}\sup_{t\in\mathbb{R}}\|(1-F_R)e^{-itH}\psi\|=0\Bigr\},\\
\mathcal{H}_{\mathrm{c}}(H)&=\Bigl\{\psi:\lim_{T\to\infty}\frac1T\int_0^T\|F_Re^{-itH}\psi\|^2\,\mathrm{d}t=0\ \text{がすべての }R\text{ で成り立つ}\Bigr\}
\end{aligned} H pp ( H ) H c ( H ) = { ψ : R → ∞ lim t ∈ R sup ∥ ( 1 − F R ) e − i t H ψ ∥ = 0 } , = { ψ : T → ∞ lim T 1 ∫ 0 T ∥ F R e − i t H ψ ∥ 2 d t = 0 がすべての R で成り立つ } が成り立つ。
この定理は、束縛状態は時間が経っても有界領域にほとんど残り、散乱状態は時間平均では有界領域にいなくなる、ということをスペクトルの型で言い切るものです。証明の方針は、まず連続部分のベクトルについて、時間平均を Wiener の定理（原子を持たない測度では平均が 0 0 0 0 0 0
証明（定理 7.3） ⟨ f ( t ) ⟩ T = 1 T ∫ 0 T f ( t ) d t \langle f(t)\rangle_T=\frac1T\int_0^Tf(t)\,\mathrm{d}t ⟨ f ( t ) ⟩ T = T 1 ∫ 0 T f ( t ) d t 0 ≤ 1 − F R ≤ 1 0\le1-F_R\le1 0 ≤ 1 − F R ≤ 1 定理 6.10［有界作用素と共役作用素］ から ∥ F R ∥ ≤ 1 \|F_R\|\le1 ∥ F R ∥ ≤ 1 ∥ 1 − F R ∥ ≤ 1 \|1-F_R\|\le1 ∥1 − F R ∥ ≤ 1 M p p M_{\mathrm{pp}} M pp M c M_{\mathrm{c}} M c
ステップ 1（Wiener 型の平均）。 ψ ∈ H c \psi\in\mathcal{H}_{\mathrm{c}} ψ ∈ H c φ ∈ H \varphi\in\mathcal{H} φ ∈ H ⟨ ∣ ⟨ φ , e − i t H ψ ⟩ ∣ 2 ⟩ T → 0 \langle|\langle\varphi,e^{-itH}\psi\rangle|^2\rangle_T\to0 ⟨ ∣ ⟨ φ , e − i t H ψ ⟩ ∣ 2 ⟩ T → 0 μ = μ φ , ψ \mu=\mu_{\varphi,\psi} μ = μ φ , ψ ⟨ φ , e − i t H ψ ⟩ = ∫ e − i t λ d μ ( λ ) \langle\varphi,e^{-itH}\psi\rangle=\int e^{-it\lambda}\,\mathrm{d}\mu(\lambda) ⟨ φ , e − i t H ψ ⟩ = ∫ e − i t λ d μ ( λ ) ∣ μ ∣ ⊗ ∣ μ ∣ |\mu|\otimes|\mu| ∣ μ ∣ ⊗ ∣ μ ∣
⟨ ∣ ⟨ φ , e − i t H ψ ⟩ ∣ 2 ⟩ T = ∬ k T ( λ − λ ′ ) d μ ( λ ) d μ ˉ ( λ ′ ) , k T ( u ) = 1 T ∫ 0 T e − i t u d t . \bigl\langle|\langle\varphi,e^{-itH}\psi\rangle|^2\bigr\rangle_T=\iint k_T(\lambda-\lambda')\,\mathrm{d}\mu(\lambda)\,\mathrm{d}\bar\mu(\lambda'),\qquad k_T(u)=\frac1T\int_0^Te^{-itu}\,\mathrm{d}t . ⟨ ∣ ⟨ φ , e − i t H ψ ⟩ ∣ 2 ⟩ T = ∬ k T ( λ − λ ′ ) d μ ( λ ) d μ ˉ ( λ ′ ) , k T ( u ) = T 1 ∫ 0 T e − i t u d t . ∣ k T ∣ ≤ 1 |k_T|\le1 ∣ k T ∣ ≤ 1 T → ∞ T\to\infty T → ∞ k T ( u ) → 1 { u = 0 } k_T(u)\to\mathbf 1_{\{u=0\}} k T ( u ) → 1 { u = 0 } ( μ ⊗ μ ˉ ) ( { λ = λ ′ } ) (\mu\otimes\bar\mu)(\{\lambda=\lambda'\}) ( μ ⊗ μ ˉ ) ({ λ = λ ′ }) ∫ ∣ μ ∣ ( { λ ′ } ) d ∣ μ ∣ ( λ ′ ) \int|\mu|(\{\lambda'\})\,\mathrm{d}|\mu|(\lambda') ∫ ∣ μ ∣ ({ λ ′ }) d ∣ μ ∣ ( λ ′ ) 命題 3.2［スペクトル定理と関数計算］ の 3 から ∣ μ ∣ ( { λ } ) ≤ μ φ ( { λ } ) 1 / 2 μ ψ ( { λ } ) 1 / 2 = 0 |\mu|(\{\lambda\})\le\mu_\varphi(\{\lambda\})^{1/2}\mu_\psi(\{\lambda\})^{1/2}=0 ∣ μ ∣ ({ λ }) ≤ μ φ ({ λ } ) 1/2 μ ψ ({ λ } ) 1/2 = 0 0 0 0 命題 8.1［ℝⁿ 上のフーリエ変換］ です）。
ステップ 2（コンパクト作用素）。 ψ ∈ H c \psi\in\mathcal{H}_{\mathrm{c}} ψ ∈ H c C C C ⟨ ∥ C e − i t H ψ ∥ 2 ⟩ T → 0 \langle\|Ce^{-itH}\psi\|^2\rangle_T\to0 ⟨ ∥ C e − i t H ψ ∥ 2 ⟩ T → 0 C = ∑ k = 1 m ⟨ φ k , ⋅ ⟩ η k C=\sum_{k=1}^m\langle\varphi_k,\cdot\rangle\eta_k C = ∑ k = 1 m ⟨ φ k , ⋅ ⟩ η k ∥ C e − i t H ψ ∥ 2 ≤ m ∑ k ∥ η k ∥ 2 ∣ ⟨ φ k , e − i t H ψ ⟩ ∣ 2 \|Ce^{-itH}\psi\|^2\le m\sum_k\|\eta_k\|^2|\langle\varphi_k,e^{-itH}\psi\rangle|^2 ∥ C e − i t H ψ ∥ 2 ≤ m ∑ k ∥ η k ∥ 2 ∣ ⟨ φ k , e − i t H ψ ⟩ ∣ 2 C C C ε > 0 \varepsilon>0 ε > 0 ∥ C − F ∥ < ε \|C-F\|<\varepsilon ∥ C − F ∥ < ε F F F 定理 3.4［コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス］ ）を取ると ∥ C e − i t H ψ ∥ 2 ≤ 2 ∥ F e − i t H ψ ∥ 2 + 2 ε 2 ∥ ψ ∥ 2 \|Ce^{-itH}\psi\|^2\le2\|Fe^{-itH}\psi\|^2+2\varepsilon^2\|\psi\|^2 ∥ C e − i t H ψ ∥ 2 ≤ 2∥ F e − i t H ψ ∥ 2 + 2 ε 2 ∥ ψ ∥ 2 lim sup T ⟨ ∥ C e − i t H ψ ∥ 2 ⟩ T ≤ 2 ε 2 ∥ ψ ∥ 2 \limsup_T\langle\|Ce^{-itH}\psi\|^2\rangle_T\le2\varepsilon^2\|\psi\|^2 lim sup T ⟨ ∥ C e − i t H ψ ∥ 2 ⟩ T ≤ 2 ε 2 ∥ ψ ∥ 2
ステップ 3（H c ⊂ M c \mathcal{H}_{\mathrm{c}}\subset M_{\mathrm{c}} H c ⊂ M c ψ ∈ H c ∩ D ( H ) \psi\in\mathcal{H}_{\mathrm{c}}\cap D(H) ψ ∈ H c ∩ D ( H ) χ = ( H + i ) ψ \chi=(H+i)\psi χ = ( H + i ) ψ μ χ = ∣ λ + i ∣ 2 μ ψ \mu_\chi=|\lambda+i|^2\mu_\psi μ χ = ∣ λ + i ∣ 2 μ ψ χ ∈ H c \chi\in\mathcal{H}_{\mathrm{c}} χ ∈ H c F R e − i t H ψ = F R ( H + i ) − 1 e − i t H χ F_Re^{-itH}\psi=F_R(H+i)^{-1}e^{-itH}\chi F R e − i t H ψ = F R ( H + i ) − 1 e − i t H χ F R ( H + i ) − 1 F_R(H+i)^{-1} F R ( H + i ) − 1 ⟨ ∥ F R e − i t H ψ ∥ 2 ⟩ T → 0 \langle\|F_Re^{-itH}\psi\|^2\rangle_T\to0 ⟨ ∥ F R e − i t H ψ ∥ 2 ⟩ T → 0 ψ ∈ H c \psi\in\mathcal{H}_{\mathrm{c}} ψ ∈ H c ψ m = E H ( [ − m , m ] ) ψ ∈ H c ∩ D ( H ) \psi_m=E_H([-m,m])\psi\in\mathcal{H}_{\mathrm{c}}\cap D(H) ψ m = E H ([ − m , m ]) ψ ∈ H c ∩ D ( H ) 定理 4.2 の 2）、∥ F R e − i t H ψ ∥ 2 ≤ 2 ∥ F R e − i t H ψ m ∥ 2 + 2 ∥ ψ − ψ m ∥ 2 \|F_Re^{-itH}\psi\|^2\le2\|F_Re^{-itH}\psi_m\|^2+2\|\psi-\psi_m\|^2 ∥ F R e − i t H ψ ∥ 2 ≤ 2∥ F R e − i t H ψ m ∥ 2 + 2∥ ψ − ψ m ∥ 2
ステップ 4（H p p ⊂ M p p \mathcal{H}_{\mathrm{pp}}\subset M_{\mathrm{pp}} H pp ⊂ M pp ψ ∈ H p p \psi\in\mathcal{H}_{\mathrm{pp}} ψ ∈ H pp ψ = ∑ k ψ k \psi=\sum_k\psi_k ψ = ∑ k ψ k H ψ k = E k ψ k H\psi_k=E_k\psi_k H ψ k = E k ψ k 定理 4.2 の 3 の証明）。ε > 0 \varepsilon>0 ε > 0 ∥ ψ − ∑ k ≤ N ψ k ∥ < ε \|\psi-\sum_{k\le N}\psi_k\|<\varepsilon ∥ ψ − ∑ k ≤ N ψ k ∥ < ε e − i t H ψ k = e − i t E k ψ k e^{-itH}\psi_k=e^{-itE_k}\psi_k e − i t H ψ k = e − i t E k ψ k
sup t ∥ ( 1 − F R ) e − i t H ψ ∥ ≤ ∑ k ≤ N ∥ ( 1 − F R ) ψ k ∥ + ε → R → ∞ ε . \sup_t\|(1-F_R)e^{-itH}\psi\|\le\sum_{k\le N}\|(1-F_R)\psi_k\|+\varepsilon\xrightarrow{R\to\infty}\varepsilon . t sup ∥ ( 1 − F R ) e − i t H ψ ∥ ≤ k ≤ N ∑ ∥ ( 1 − F R ) ψ k ∥ + ε R → ∞ ε . ステップ 5（逆の包含）。 M p p M_{\mathrm{pp}} M pp M c M_{\mathrm{c}} M c ∥ a + b ∥ 2 ≤ 2 ∥ a ∥ 2 + 2 ∥ b ∥ 2 \|a+b\|^2\le2\|a\|^2+2\|b\|^2 ∥ a + b ∥ 2 ≤ 2∥ a ∥ 2 + 2∥ b ∥ 2 ψ ∈ M c \psi\in M_{\mathrm{c}} ψ ∈ M c ψ = ψ p p + ψ c \psi=\psi_{\mathrm{pp}}+\psi_{\mathrm{c}} ψ = ψ pp + ψ c 定理 4.2 ）。ステップ 3 から ψ p p = ψ − ψ c ∈ M c \psi_{\mathrm{pp}}=\psi-\psi_{\mathrm{c}}\in M_{\mathrm{c}} ψ pp = ψ − ψ c ∈ M c ψ p p ∈ M p p \psi_{\mathrm{pp}}\in M_{\mathrm{pp}} ψ pp ∈ M pp ψ p p ≠ 0 \psi_{\mathrm{pp}}\ne0 ψ pp = 0 R R R sup t ∥ ( 1 − F R ) e − i t H ψ p p ∥ ≤ ∥ ψ p p ∥ / 2 \sup_t\|(1-F_R)e^{-itH}\psi_{\mathrm{pp}}\|\le\|\psi_{\mathrm{pp}}\|/2 sup t ∥ ( 1 − F R ) e − i t H ψ pp ∥ ≤ ∥ ψ pp ∥/2 ∥ F R e − i t H ψ p p ∥ ≥ ∥ e − i t H ψ p p ∥ − ∥ ψ p p ∥ / 2 = ∥ ψ p p ∥ / 2 \|F_Re^{-itH}\psi_{\mathrm{pp}}\|\ge\|e^{-itH}\psi_{\mathrm{pp}}\|-\|\psi_{\mathrm{pp}}\|/2=\|\psi_{\mathrm{pp}}\|/2 ∥ F R e − i t H ψ pp ∥ ≥ ∥ e − i t H ψ pp ∥ − ∥ ψ pp ∥/2 = ∥ ψ pp ∥/2 t t t 0 0 0 ψ = ψ c ∈ H c \psi=\psi_{\mathrm{c}}\in\mathcal{H}_{\mathrm{c}} ψ = ψ c ∈ H c ψ ∈ M p p \psi\in M_{\mathrm{pp}} ψ ∈ M pp ψ c = ψ − ψ p p ∈ M p p ∩ M c \psi_{\mathrm{c}}=\psi-\psi_{\mathrm{pp}}\in M_{\mathrm{pp}}\cap M_{\mathrm{c}} ψ c = ψ − ψ pp ∈ M pp ∩ M c ψ c = 0 \psi_{\mathrm{c}}=0 ψ c = 0 ψ ∈ H p p \psi\in\mathcal{H}_{\mathrm{pp}} ψ ∈ H pp
∎ 物理的には、純点部分のベクトル（束縛状態）は時間発展しても確率のほとんどが有界領域に残り、連続部分のベクトル（散乱状態）はどの有界領域に見いだされる確率も時間平均で 0 0 0 例 7.2 が示すように、特異連続部分では瞬間ごとの確率は戻ってくることがありますが、平均すれば領域から出ていきます。
演習 8.1 標準
ℓ 2 ( N ) \ell^2(\mathbb{N}) ℓ 2 ( N ) S ∗ ( x 1 , x 2 , x 3 , … ) = ( x 2 , x 3 , … ) S^*(x_1,x_2,x_3,\ldots)=(x_2,x_3,\ldots) S ∗ ( x 1 , x 2 , x 3 , … ) = ( x 2 , x 3 , … ) σ p ( S ∗ ) \sigma_{\mathrm{p}}(S^*) σ p ( S ∗ ) σ c ( S ∗ ) \sigma_{\mathrm{c}}(S^*) σ c ( S ∗ ) σ r ( S ∗ ) \sigma_{\mathrm{r}}(S^*) σ r ( S ∗ )
解答 ∥ S ∗ ∥ = 1 \|S^*\|=1 ∥ S ∗ ∥ = 1 ∣ z ∣ > 1 |z|\gt1 ∣ z ∣ > 1 ρ ( S ∗ ) \rho(S^*) ρ ( S ∗ ) ∣ z ∣ < 1 |z|\lt1 ∣ z ∣ < 1 x = ( 1 , z , z 2 , … ) ∈ ℓ 2 x=(1,z,z^2,\ldots)\in\ell^2 x = ( 1 , z , z 2 , … ) ∈ ℓ 2 S ∗ x = z x S^*x=zx S ∗ x = z x σ p ( S ∗ ) ⊃ { ∣ z ∣ < 1 } \sigma_{\mathrm{p}}(S^*)\supset\{|z|\lt1\} σ p ( S ∗ ) ⊃ { ∣ z ∣ < 1 } ∣ z ∣ ≥ 1 |z|\ge1 ∣ z ∣ ≥ 1 S ∗ x = z x S^*x=zx S ∗ x = z x x n = z n − 1 x 1 x_n=z^{n-1}x_1 x n = z n − 1 x 1 ℓ 2 \ell^2 ℓ 2 x 1 = 0 x_1=0 x 1 = 0 ∣ z ∣ = 1 |z|=1 ∣ z ∣ = 1 R a n ( S ∗ − z ) ⊥ = K e r ( S − z ˉ ) \mathrm{Ran}(S^*-z)^\perp=\mathrm{Ker}(S-\bar z) Ran ( S ∗ − z ) ⊥ = Ker ( S − z ˉ ) S S S S x = z ˉ x Sx=\bar zx S x = z ˉ x z ˉ x 1 = 0 \bar zx_1=0 z ˉ x 1 = 0 x n = z ˉ x n + 1 x_{n}=\bar zx_{n+1} x n = z ˉ x n + 1 x = 0 x=0 x = 0 σ c ( S ∗ ) = { ∣ z ∣ = 1 } \sigma_{\mathrm{c}}(S^*)=\{|z|=1\} σ c ( S ∗ ) = { ∣ z ∣ = 1 } σ p ( S ∗ ) = { ∣ z ∣ < 1 } \sigma_{\mathrm{p}}(S^*)=\{|z|\lt1\} σ p ( S ∗ ) = { ∣ z ∣ < 1 } σ r ( S ∗ ) = ∅ \sigma_{\mathrm{r}}(S^*)=\emptyset σ r ( S ∗ ) = ∅ S S S σ r ( S ) = { ∣ z ∣ < 1 } \sigma_{\mathrm{r}}(S)=\{|z|\lt1\} σ r ( S ) = { ∣ z ∣ < 1 }
演習 8.2 易
L 2 ( R ) L^2(\mathbb{R}) L 2 ( R ) ( A g ) ( x ) = x g ( x ) (Ag)(x)=xg(x) ( A g ) ( x ) = xg ( x ) λ ∈ R \lambda\in\mathbb{R} λ ∈ R ψ n = n 1 [ λ , λ + 1 / n ] \psi_n=\sqrt n\,\mathbf{1}_{[\lambda,\lambda+1/n]} ψ n = n 1 [ λ , λ + 1/ n ] σ e s s ( A ) = R \sigma_{\mathrm{ess}}(A)=\mathbb{R} σ ess ( A ) = R
解答 ∥ ψ n ∥ 2 = n ⋅ 1 n = 1 \|\psi_n\|^2=n\cdot\frac1n=1 ∥ ψ n ∥ 2 = n ⋅ n 1 = 1 ∥ ( A − λ ) ψ n ∥ 2 = n ∫ 0 1 / n s 2 d s = 1 3 n 2 → 0 \|(A-\lambda)\psi_n\|^2=n\int_0^{1/n}s^2\,\mathrm{d}s=\frac{1}{3n^2}\to0 ∥ ( A − λ ) ψ n ∥ 2 = n ∫ 0 1/ n s 2 d s = 3 n 2 1 → 0 φ ∈ L 2 \varphi\in L^2 φ ∈ L 2 ∣ ⟨ φ , ψ n ⟩ ∣ ≤ n ∫ λ λ + 1 / n ∣ φ ∣ ≤ ∥ φ 1 [ λ , λ + 1 / n ] ∥ → 0 |\langle\varphi,\psi_n\rangle|\le\sqrt n\int_\lambda^{\lambda+1/n}|\varphi|\le\|\varphi\mathbf{1}_{[\lambda,\lambda+1/n]}\|\to0 ∣ ⟨ φ , ψ n ⟩ ∣ ≤ n ∫ λ λ + 1/ n ∣ φ ∣ ≤ ∥ φ 1 [ λ , λ + 1/ n ] ∥ → 0 ψ n ⇀ 0 \psi_n\rightharpoonup0 ψ n ⇀ 0 定理 5.4 の 2 より λ ∈ σ e s s ( A ) \lambda\in\sigma_{\mathrm{ess}}(A) λ ∈ σ ess ( A ) λ \lambda λ
演習 8.3 難
自己共役作用素 A A A σ e s s ( A ) = ∅ \sigma_{\mathrm{ess}}(A)=\emptyset σ ess ( A ) = ∅ ( A − i ) − 1 (A-i)^{-1} ( A − i ) − 1
解答 ( A − i ) − 1 (A-i)^{-1} ( A − i ) − 1 λ ∈ σ e s s ( A ) \lambda\in\sigma_{\mathrm{ess}}(A) λ ∈ σ ess ( A ) ψ n \psi_n ψ n
( A − i ) − 1 ψ n − ( λ − i ) − 1 ψ n = ( λ − i ) − 1 ( A − i ) − 1 ( λ − A ) ψ n (A-i)^{-1}\psi_n-(\lambda-i)^{-1}\psi_n=(\lambda-i)^{-1}(A-i)^{-1}(\lambda-A)\psi_n ( A − i ) − 1 ψ n − ( λ − i ) − 1 ψ n = ( λ − i ) − 1 ( A − i ) − 1 ( λ − A ) ψ n （両辺に ( A − i ) (A-i) ( A − i ) 0 0 0 補題 6.1 より ( A − i ) − 1 ψ n → 0 (A-i)^{-1}\psi_n\to0 ( A − i ) − 1 ψ n → 0 ∥ ψ n ∥ → 0 \|\psi_n\|\to0 ∥ ψ n ∥ → 0
逆に σ e s s ( A ) = ∅ \sigma_{\mathrm{ess}}(A)=\emptyset σ ess ( A ) = ∅ [ − n , n ] [-n,n] [ − n , n ] σ ( A ) \sigma(A) σ ( A ) σ ( A ) \sigma(A) σ ( A ) σ ( A ) \sigma(A) σ ( A ) { λ k } \{\lambda_k\} { λ k } E A ( R ∖ σ ( A ) ) = 0 E_A(\mathbb{R}\setminus\sigma(A))=0 E A ( R ∖ σ ( A )) = 0 1 = ∑ k E A ( { λ k } ) 1=\sum_kE_A(\{\lambda_k\}) 1 = ∑ k E A ({ λ k })
( A − i ) − 1 = ∑ k ( λ k − i ) − 1 E A ( { λ k } ) (A-i)^{-1}=\sum_k(\lambda_k-i)^{-1}E_A(\{\lambda_k\}) ( A − i ) − 1 = k ∑ ( λ k − i ) − 1 E A ({ λ k }) です。∣ λ k ∣ → ∞ |\lambda_k|\to\infty ∣ λ k ∣ → ∞ ∣ λ k ∣ ≤ N |\lambda_k|\le N ∣ λ k ∣ ≤ N sup ∣ λ k ∣ > N ∣ λ k − i ∣ − 1 → 0 \sup_{|\lambda_k|\gt N}|\lambda_k-i|^{-1}\to0 sup ∣ λ k ∣ > N ∣ λ k − i ∣ − 1 → 0
演習 8.4 易
例 4.6 の作用素（ν \nu ν [ 0 , 1 ] [0,1] [ 0 , 1 ] δ 2 \delta_2 δ 2 [ 3 , 4 ] [3,4] [ 3 , 4 ] σ d i s c \sigma_{\mathrm{disc}} σ disc σ e s s \sigma_{\mathrm{ess}} σ ess 2 2 2
解答 g = 1 { 2 } g=\mathbf{1}_{\{2\}} g = 1 { 2 } ν ( { 2 } ) = 1 \nu(\{2\})=1 ν ({ 2 }) = 1 L 2 ( ν ) L^2(\nu) L 2 ( ν ) A g = 2 g Ag=2g A g = 2 g E A ( { 2 } ) E_A(\{2\}) E A ({ 2 }) 1 { 2 } \mathbf{1}_{\{2\}} 1 { 2 } 2 2 2 σ ( A ) = [ 0 , 1 ] ∪ { 2 } ∪ ( 3 + K ) \sigma(A)=[0,1]\cup\{2\}\cup(3+K) σ ( A ) = [ 0 , 1 ] ∪ { 2 } ∪ ( 3 + K ) 2 ∈ σ d i s c ( A ) 2\in\sigma_{\mathrm{disc}}(A) 2 ∈ σ disc ( A ) [ 0 , 1 ] [0,1] [ 0 , 1 ] 3 + K 3+K 3 + K J J J ν ( J ∩ ( 3 + K ) ) > 0 \nu(J\cap(3+K))\gt0 ν ( J ∩ ( 3 + K )) > 0 L 2 ( ν ∣ J ) L^2(\nu|_J) L 2 ( ν ∣ J ) 命題 5.2 より σ e s s ( A ) = [ 0 , 1 ] ∪ ( 3 + K ) \sigma_{\mathrm{ess}}(A)=[0,1]\cup(3+K) σ ess ( A ) = [ 0 , 1 ] ∪ ( 3 + K ) σ d i s c ( A ) = { 2 } \sigma_{\mathrm{disc}}(A)=\{2\} σ disc ( A ) = { 2 }
M. Reed and B. Simon, Methods of Modern Mathematical Physics I: Functional Analysis , revised ed., Academic Press, 1980 — 第 VII 章（スペクトル測度の分解）。
M. Reed and B. Simon, Methods of Modern Mathematical Physics IV: Analysis of Operators , Academic Press, 1978 — 第 XIII 章（本質スペクトルと Weyl の定理）。
G. Teschl, Mathematical Methods in Quantum Mechanics , Graduate Studies in Mathematics 99, American Mathematical Society, 2009 — 第 3 章（スペクトルの型）、第 5 章（RAGE の定理）、第 6 章（Weyl の定理）。
H. L. Cycon, R. G. Froese, W. Kirsch and B. Simon, Schrödinger Operators with Application to Quantum Mechanics and Global Geometry , Springer, 1987 — 第 5 章（RAGE の定理）。
T. Kato, Perturbation Theory for Linear Operators , 2nd ed., Springer, 1976 — 第 X 章（Weyl–von Neumann の定理と散乱理論）。
執筆: Claude Code（Opus 5.5）、Claude Code（Sonnet 5.5）・監査 3 回（Claude Code）・最終 2026-10-12