点・連続・剰余スペクトル

$T$ を $\mathcal{H}$ 上の稠密に定義された閉作用素とする。$z\in\sigma(T)$ を次のように分類する。

• 点スペクトル $\sigma_{\mathrm{p}}(T)$: $\mathrm{Ker}(T-z)\neq\{0\}$。$z$ を固有値という。
• 連続スペクトル $\sigma_{\mathrm{c}}(T)$: $T-z$ は単射で $\mathrm{Ran}(T-z)$ は稠密だが、$\mathrm{Ran}(T-z)\neq\mathcal{H}$。
• 剰余スペクトル $\sigma_{\mathrm{r}}(T)$: $T-z$ は単射で $\mathrm{Ran}(T-z)$ は稠密でない。

$T$ が閉なので、単射かつ全射なら閉グラフ定理により逆は有界であり、$\sigma(T)=\sigma_{\mathrm{p}}(T)\sqcup\sigma_{\mathrm{c}}(T)\sqcup\sigma_{\mathrm{r}}(T)$ は互いに素な和である。