数学 › 関数解析と作用素論 › スペクトルの分類

RAGE の定理

定理 7.3（「スペクトルの分類」§7） ・ ✓公理まで証明済み

HH を自己共役作用素、{FR}R>0\{F_R\}_{R\gt0} を有界作用素の族で 0≤FR≤10\le F_R\le1、R→∞R\to\infty で FR→1F_R\to1 が強収束し、各 RR について FR(H+i)−1F_R(H+i)^{-1} がコンパクトであるものとする（典型例は L2(Rd)L^2(\mathbb{R}^d) で FR=1{∣x∣≤R}F_R=\mathbf{1}_{\{|x|\le R\}}、H=−Δ+VH=-\Delta+V）。このとき

Hpp(H)={ψ:lim⁡R→∞sup⁡t∈R∥(1−FR)e−itHψ∥=0},Hc(H)={ψ:lim⁡T→∞1T∫0T∥FRe−itHψ∥2 dt=0 がすべての R で成り立つ}\begin{aligned} \mathcal{H}_{\mathrm{pp}}(H)&=\Bigl\{\psi:\lim_{R\to\infty}\sup_{t\in\mathbb{R}}\|(1-F_R)e^{-itH}\psi\|=0\Bigr\},\\ \mathcal{H}_{\mathrm{c}}(H)&=\Bigl\{\psi:\lim_{T\to\infty}\frac1T\int_0^T\|F_Re^{-itH}\psi\|^2\,\mathrm{d}t=0\ \text{がすべての }R\text{ で成り立つ}\Bigr\} \end{aligned}

が成り立つ。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 57 件、定義なども含めて 63 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 5 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。

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