数学 › 関数解析と作用素論 › スペクトル定理と関数計算
ユニタリ作用素のスペクトル定理
を Hilbert 空間 上のユニタリ作用素とする。
- のボレル集合族上の射影値測度 がただ一つ存在して が成り立つ。
- 有界作用素 について、 がすべての と可換であることと、 が および と可換であることは同値である。
閉包の状態
✓ 公理まで証明済み
証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 30 件、定義なども含めて 35 件）。
印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。
前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 6 件）
▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。
- Fejér–Riesz の定理✓定理 4.1・Toeplitz 作用素と Szegő の極限定理
Stone–Weierstrass の定理（複素数値）✓定理 4.7・Arzelà–Ascoli と Stone–Weierstrass
Stone–Weierstrass の定理（実数値）✓定理 4.3・Arzelà–Ascoli と Stone–Weierstrass
絶対値関数の多項式による一様近似✓補題 4.1・Arzelà–Ascoli と Stone–Weierstrass
Riesz–Markov–角谷の表現定理✓定理 4.1・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理
開集合は μ*-可測✓補題 4.3・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理
- Carathéodory の定理（外測度から測度へ）✓定理 3.2・測度空間と Carathéodory の拡張定理
- コンパクト集合の測度✓補題 4.4・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理
積分との一致✓補題 4.5・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理
- コンパクト集合の測度✓補題 4.4・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理
単位円上の測度は連続関数の積分で決まる✓補題 5.2・スペクトル定理と関数計算
正則性の自動成立✓定理 5.3・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理
- Riesz–Markov–角谷の表現定理✓定理 4.1・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理（上で展開済み）
単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
- 可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →
- 単関数の積分の基本性質✓補題 4.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
- 単関数が定める測度✓補題 4.3・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →
- 測度の下からの連続性✓命題 2.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
- 非負可測関数のルベーグ積分定義 5.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
- Riesz–Markov–角谷の表現定理✓定理 4.1・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理（上で展開済み）
リースの表現定理✓定理 4.2・Hilbert 空間の基礎
射影定理✓定理 3.4・Hilbert 空間の基礎
- 平行四辺形則と分極恒等式✓命題 2.3・Hilbert 空間の基礎
- 最近点の変分的特徴づけ✓補題 3.3・Hilbert 空間の基礎
- 命題 3.2✓Hilbert 空間の基礎
有界関数のスペクトル積分✓命題 4.1・スペクトル定理と関数計算
- 射影値測度の基本性質✓命題 3.2・スペクトル定理と関数計算
これを使っている定理 証明で参照している 2 件
- スペクトル定理（射影値測度版）✓定理 5.5・スペクトル定理と関数計算
- 有界ボレル関数計算✓定理 6.2・スペクトル定理と関数計算