スペクトルはスペクトル測度の台

命題 5.6（「スペクトル定理と関数計算」§5）・ ✓公理まで証明済み

$A$ を自己共役作用素、 $E_A$ をそのスペクトル測度とする。このとき $\sigma(A)=\mathrm{supp}\,E_A\subset\mathbb{R}$ であり、 $E_A(\mathbb{R}\setminus\sigma(A))=0$ である。さらに $\lambda_0\in\mathbb{R}$ について次は同値である。

$\lambda_0\in\sigma(A)$ 。
任意の $\varepsilon>0$ について $E_A((\lambda_0-\varepsilon,\lambda_0+\varepsilon))\neq0$ 。
$\psi_n\in D(A)$ 、 $\|\psi_n\|=1$ 、 $\|(A-\lambda_0)\psi_n\|\to0$ を満たす列が存在する。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 3 件、定義なども含めて 4 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

スペクトル積分の基本定理✓定理 4.3・スペクトル定理と関数計算
- 非有界関数のスペクトル積分定義 4.2・スペクトル定理と関数計算
- 有界関数のスペクトル積分✓命題 4.1・スペクトル定理と関数計算
  - 射影値測度の基本性質✓命題 3.2・スペクトル定理と関数計算

これを使っている定理証明で参照している 13 件

Mittleman の max-min 原理✓定理 5.2・no-pair（Brown–Ravenhall）作用素
自由 Dirac 作用素の自己共役性とスペクトル✓定理 3.3・自由 Dirac 作用素
超対称な Dirac 作用素の ±m 固有値✓命題 4.3・超対称量子力学と Witten 指数
有界ボレル関数計算✓定理 6.2・スペクトル定理と関数計算
ユニタリ群とレゾルベントの表示✓定理 6.3・スペクトル定理と関数計算
本質スペクトルのスペクトル射影による特徴づけ✓命題 5.2・スペクトルの分類
Weyl の判定法✓定理 5.4・スペクトルの分類
質量ギャップと指数的クラスター性の同値✓定理 3.4・Yang–Mills 理論と質量ギャップ I
自由な Maxwell 場は存在するが質量ギャップをもたない✓定理 4.1・Yang–Mills 理論と質量ギャップ I
Schur の補題✓補題 2.5・C* 環の状態と GNS 構成
数作用素による Fock 表現の特徴づけ✓定理 8.1・CCR の表現
自己共役作用素の直和✓補題 2.3・第二量子化作用素 Γ(U) と dΓ(A)
dΓ(A) のスペクトル✓定理 7.1・第二量子化作用素 Γ(U) と dΓ(A)

スペクトルはスペクトル測度の台

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 1 件）

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