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定理 6.3（「スペクトル定理と関数計算」§6）・ ✓公理まで証明済み

$A$ を自己共役作用素、 $E_A$ をそのスペクトル測度とする。

$U(t)=e^{itA}:=\int e^{it\lambda}\,\mathrm{d}E_A(\lambda)$ （ $t\in\mathbb{R}$ ）はユニタリ作用素の族で、 $U(t+s)=U(t)U(s)$ 、 $U(0)=1$ を満たし、 $t\mapsto U(t)\psi$ は各 $\psi$ について連続である。
$\psi\in D(A)$ ならば $t\mapsto U(t)\psi$ は微分可能で、 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}U(t)\psi=iAU(t)\psi=iU(t)A\psi$ 。
$z\in\rho(A)$ ならば $(A-z)^{-1}=\int(\lambda-z)^{-1}\,\mathrm{d}E_A(\lambda)$ であり、 $\|(A-z)^{-1}\|=1/\mathrm{dist}(z,\sigma(A))$ 。とくに $z\notin\mathbb{R}$ なら $\|(A-z)^{-1}\|\le1/|\mathrm{Im}\,z|$ 。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 34 件、定義なども含めて 40 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

有界ボレル関数計算✓定理 6.2・スペクトル定理と関数計算
- 有界関数のスペクトル積分✓命題 4.1・スペクトル定理と関数計算
  - 射影値測度の基本性質✓命題 3.2・スペクトル定理と関数計算
- スペクトルはスペクトル測度の台✓命題 5.6・スペクトル定理と関数計算（上で展開済み）
- スペクトル積分の基本定理✓定理 4.3・スペクトル定理と関数計算
  - 非有界関数のスペクトル積分定義 4.2・スペクトル定理と関数計算
  - 有界関数のスペクトル積分✓命題 4.1・スペクトル定理と関数計算（上で展開済み）
- ユニタリ作用素のスペクトル定理✓定理 5.3・スペクトル定理と関数計算
  - Fejér–Riesz の定理✓定理 4.1・Toeplitz 作用素と Szegő の極限定理
  - Stone–Weierstrass の定理（複素数値）✓定理 4.7・Arzelà–Ascoli と Stone–Weierstrass
    Stone–Weierstrass の定理（実数値）✓定理 4.3・Arzelà–Ascoli と Stone–Weierstrass この先をたどる →
  - Riesz–Markov–角谷の表現定理✓定理 4.1・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理
    開集合は μ*-可測✓補題 4.3・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理この先をたどる →
    コンパクト集合の測度✓補題 4.4・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理
    積分との一致✓補題 4.5・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理この先をたどる →
  - 単位円上の測度は連続関数の積分で決まる✓補題 5.2・スペクトル定理と関数計算
    正則性の自動成立✓定理 5.3・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理この先をたどる →
    Riesz–Markov–角谷の表現定理✓定理 4.1・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理（上で展開済み）
  - リースの表現定理✓定理 4.2・Hilbert 空間の基礎
    射影定理✓定理 3.4・Hilbert 空間の基礎この先をたどる →
  - 有界関数のスペクトル積分✓命題 4.1・スペクトル定理と関数計算（上で展開済み）
スペクトルはスペクトル測度の台✓命題 5.6・スペクトル定理と関数計算
- スペクトル積分の基本定理✓定理 4.3・スペクトル定理と関数計算（上で展開済み）

これを使っている定理証明で参照している 11 件

Nelson の解析ベクトル定理✓定理 7.5・自己共役性の判定
Helffer–Sjöstrand 公式✓定理 8.3・ベクトル値解析と関数計算
Aguilar–Balslev–Combes の定理✓定理 3.6・共鳴
Pearson の補題✓補題 4.4・トレースクラス摂動と Kato–Rosenblum の定理
波動作用素の基本性質✓定理 3.2・波動作用素と漸近完全性
Cook の判定法✓定理 4.1・波動作用素と漸近完全性
時間発展の一意性✓補題 2.1・第二量子化作用素 Γ(U) と dΓ(A)
自己共役作用素はユニタリ群で決まる✓補題 2.2・第二量子化作用素 Γ(U) と dΓ(A)
自己共役作用素の直和✓補題 2.3・第二量子化作用素 Γ(U) と dΓ(A)
dΓ(A) の自己共役性と $Γ(e^{itA})$ ✓定理 4.2・第二量子化作用素 Γ(U) と dΓ(A)
Weyl 関係✓定理 4.2・Segal 場・Weyl 作用素・コヒーレント状態

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閉包の状態

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