物理学 › フォック空間と第二量子化 › 第二量子化作用素 Γ(U) と dΓ(A)有料章

dΓ(A) の自己共役性と $Γ(e^{itA})$

定理 4.2（「第二量子化作用素 Γ(U) と dΓ(A)」§4） ・ ✓公理まで証明済み

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 73 件、定義なども含めて 89 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 8 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

• 自己共役作用素の直和✓補題 2.3・第二量子化作用素 Γ(U) と dΓ(A)

  • 自己共役性の基本判定✓定理 4.3・対称作用素と自己共役拡大

    • 対称作用素の基本評価✓補題 4.1・対称作用素と自己共役拡大

      • 閉性の言い換え✓命題 4.2・非有界作用素
    • 値域と核の双対性✓補題 4.2・対称作用素と自己共役拡大

      • 共役の基本性質✓命題 5.6・非有界作用素
  • 時間発展の一意性✓補題 2.1・第二量子化作用素 Γ(U) と dΓ(A)（上で展開済み）
  • スペクトルはスペクトル測度の台✓命題 5.6・スペクトル定理と関数計算

    • スペクトル積分の基本定理✓定理 4.3・スペクトル定理と関数計算

      • 非有界関数のスペクトル積分定義 4.2・スペクトル定理と関数計算
      • 有界関数のスペクトル積分✓命題 4.1・スペクトル定理と関数計算 この先をたどる →
  • ユニタリ群とレゾルベントの表示✓定理 6.3・スペクトル定理と関数計算（上で展開済み）
• 1 粒子作用素の和の自己共役性と簡約✓定理 6.5・対称・反対称テンソル積と多粒子の Hilbert 空間

  • 対称テンソルの分極公式✓命題 3.6・対称・反対称テンソル積と多粒子の Hilbert 空間

    • 置換作用素定義 3.1・対称・反対称テンソル積と多粒子の Hilbert 空間
  • テンソル積の基本性質✓命題 2.2・対称・反対称テンソル積と多粒子の Hilbert 空間

    • Hilbert 空間のテンソル積定義 3.2・Hilbert 空間のテンソル積と直積分
    • テンソル積上の内積✓命題 3.1・Hilbert 空間のテンソル積と直積分
    • 有界作用素のテンソル積✓命題 4.1・Hilbert 空間のテンソル積と直積分
    • L²(X)⊗L²(Y) ≅ L²(X×Y)✓定理 3.5・Hilbert 空間のテンソル積と直積分
  • 解析ベクトル定義 7.4・自己共役性の判定
  • Nelson の解析ベクトル定理✓定理 7.5・自己共役性の判定

    • 本質的自己共役性の判定✓系 4.4・対称作用素と自己共役拡大

      • 自己共役性の基本判定✓定理 4.3・対称作用素と自己共役拡大（上で展開済み）
      • 対称作用素の包含の鎖✓命題 3.3・対称作用素と自己共役拡大 この先をたどる →
      • 値域と核の双対性✓補題 4.2・対称作用素と自己共役拡大（上で展開済み）
    • von Neumann の拡大定理✓定理 5.4・対称作用素と自己共役拡大

      • 共役の基本性質✓命題 5.6・非有界作用素
      • 境界形式✓補題 5.3・対称作用素と自己共役拡大
      • von Neumann の第 1 公式✓補題 5.2・対称作用素と自己共役拡大
    • ユニタリ群とレゾルベントの表示✓定理 6.3・スペクトル定理と関数計算（上で展開済み）
    • テイラーの定理（ラグランジュの剰余）✓定理 5.3・平均値の定理とテイラーの定理

      • コーシーの平均値の定理✓定理 3.7・平均値の定理とテイラーの定理 この先をたどる →
  • 射影で簡約される自己共役作用素✓補題 6.4・対称・反対称テンソル積と多粒子の Hilbert 空間

    • 自己共役性の基本判定✓命題 2.2・自己共役性の判定
• ユニタリ群とレゾルベントの表示✓定理 6.3・スペクトル定理と関数計算

  • 有界ボレル関数計算✓定理 6.2・スペクトル定理と関数計算

    • 有界関数のスペクトル積分✓命題 4.1・スペクトル定理と関数計算 この先をたどる →
    • スペクトルはスペクトル測度の台✓命題 5.6・スペクトル定理と関数計算（上で展開済み）
    • スペクトル積分の基本定理✓定理 4.3・スペクトル定理と関数計算（上で展開済み）
    • ユニタリ作用素のスペクトル定理✓定理 5.3・スペクトル定理と関数計算 この先をたどる →
  • スペクトルはスペクトル測度の台✓命題 5.6・スペクトル定理と関数計算（上で展開済み）
• 時間発展の一意性✓補題 2.1・第二量子化作用素 Γ(U) と dΓ(A)

  • ユニタリ群とレゾルベントの表示✓定理 6.3・スペクトル定理と関数計算（上で展開済み）
• 第二量子化作用素 dΓ(A)定義 4.1・第二量子化作用素 Γ(U) と dΓ(A)
• 数作用素定義 3.2・ボソン Fock 空間と生成・消滅作用素
• Γ の関手性✓命題 3.2・第二量子化作用素 Γ(U) と dΓ(A)

  • テンソル積の基本性質✓命題 2.2・対称・反対称テンソル積と多粒子の Hilbert 空間（上で展開済み）
• 可換性の同値な言い換え✓命題 7.2・スペクトル定理と関数計算

  • 有界ボレル関数計算✓定理 6.2・スペクトル定理と関数計算（上で展開済み）

これを使っている定理 証明で参照している 14 件

• 自由な Maxwell 場は存在するが質量ギャップをもたない✓定理 4.1・Yang–Mills 理論と質量ギャップ I
• ボソン Fock 空間の基本事項（再掲）✓命題 2.1・自由スカラー場の Fock 空間上の構成
• 急な速度変化による放射（Bloch–Nordsieck）✓定理 4.1・赤外問題
• 消滅作用素の $H_b$ 有界性✓補題 2.1・Nelson 模型と spin-boson 模型
• Weyl 作用素による共役✓補題 7.8・Nelson 模型と spin-boson 模型
• 小さい結合での自己共役性✓定理 3.3・Pauli–Fierz 模型と赤外問題
• Lee–Low–Pines 変換とファイバー分解✓定理 4.1・Pauli–Fierz 模型と赤外問題
• 自己共役性と一様な下界✓定理 2.5・pull-through 公式と基底状態の一般論
• dΓ のユニタリ共変性✓命題 4.4・第二量子化作用素 Γ(U) と dΓ(A)
• dΓ(A) と生成・消滅作用素の交換関係✓定理 5.1・第二量子化作用素 Γ(U) と dΓ(A)
• 生成・消滅作用素の自由な時間発展✓系 5.2・第二量子化作用素 Γ(U) と dΓ(A)
• Segal 場の基本性質✓命題 3.4・Segal 場・Weyl 作用素・コヒーレント状態
• 消滅作用素の $dΓ(T)^{1/2}$ による評価✓補題 2.2・van Hove 模型
• 自由場の Lorenz–Coulomb ユニタリ同値✓定理 3.2・ゲージの同値性

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