物理学 › フォック空間と第二量子化 › Nelson 模型と spin-boson 模型有料章

Weyl 作用素による共役

補題 7.8（「Nelson 模型と spin-boson 模型」§7） ・ ✓公理まで証明済み

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 111 件、定義なども含めて 130 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 7 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

• Segal 場の基本性質✓命題 3.4・Segal 場・Weyl 作用素・コヒーレント状態

  • f についての反線形性と線形性✓命題 4.5・ボソン Fock 空間と生成・消滅作用素

    • 部分内積の性質✓補題 4.1・ボソン Fock 空間と生成・消滅作用素 この先をたどる →
  • 数作用素による相対評価✓定理 6.1・ボソン Fock 空間と生成・消滅作用素

    • 部分内積の性質✓補題 4.1・ボソン Fock 空間と生成・消滅作用素 この先をたどる →
    • 数作用素の基本性質✓命題 3.3・ボソン Fock 空間と生成・消滅作用素 この先をたどる →
  • 正準交換関係✓定理 5.2・ボソン Fock 空間と生成・消滅作用素

    • 対称化と部分内積の交換公式✓補題 5.1・ボソン Fock 空間と生成・消滅作用素 この先をたどる →
    • 部分内積の性質✓補題 4.1・ボソン Fock 空間と生成・消滅作用素 この先をたどる →
  • Γ と生成・消滅作用素✓命題 3.3・第二量子化作用素 Γ(U) と dΓ(A)（上で展開済み）
  • dΓ(A) の自己共役性と $Γ(e^{itA})$✓定理 4.2・第二量子化作用素 Γ(U) と dΓ(A)（上で展開済み）
• dΓ(A) の自己共役性と $Γ(e^{itA})$✓定理 4.2・第二量子化作用素 Γ(U) と dΓ(A)

  • 自己共役作用素の直和✓補題 2.3・第二量子化作用素 Γ(U) と dΓ(A)

    • 自己共役性の基本判定✓定理 4.3・対称作用素と自己共役拡大 この先をたどる →
    • 時間発展の一意性✓補題 2.1・第二量子化作用素 Γ(U) と dΓ(A)（上で展開済み）
    • スペクトルはスペクトル測度の台✓命題 5.6・スペクトル定理と関数計算 この先をたどる →
    • ユニタリ群とレゾルベントの表示✓定理 6.3・スペクトル定理と関数計算（上で展開済み）
  • 1 粒子作用素の和の自己共役性と簡約✓定理 6.5・対称・反対称テンソル積と多粒子の Hilbert 空間

    • 対称テンソルの分極公式✓命題 3.6・対称・反対称テンソル積と多粒子の Hilbert 空間 この先をたどる →
    • テンソル積の基本性質✓命題 2.2・対称・反対称テンソル積と多粒子の Hilbert 空間 この先をたどる →
    • 解析ベクトル定義 7.4・自己共役性の判定
    • Nelson の解析ベクトル定理✓定理 7.5・自己共役性の判定 この先をたどる →
    • 射影で簡約される自己共役作用素✓補題 6.4・対称・反対称テンソル積と多粒子の Hilbert 空間 この先をたどる →
  • ユニタリ群とレゾルベントの表示✓定理 6.3・スペクトル定理と関数計算

    • 有界ボレル関数計算✓定理 6.2・スペクトル定理と関数計算 この先をたどる →
    • スペクトルはスペクトル測度の台✓命題 5.6・スペクトル定理と関数計算 この先をたどる →
  • 時間発展の一意性✓補題 2.1・第二量子化作用素 Γ(U) と dΓ(A)

    • ユニタリ群とレゾルベントの表示✓定理 6.3・スペクトル定理と関数計算（上で展開済み）
  • 第二量子化作用素 dΓ(A)定義 4.1・第二量子化作用素 Γ(U) と dΓ(A)
  • 数作用素定義 3.2・ボソン Fock 空間と生成・消滅作用素
  • Γ の関手性✓命題 3.2・第二量子化作用素 Γ(U) と dΓ(A)

    • テンソル積の基本性質✓命題 2.2・対称・反対称テンソル積と多粒子の Hilbert 空間 この先をたどる →
  • 可換性の同値な言い換え✓命題 7.2・スペクトル定理と関数計算

    • 有界ボレル関数計算✓定理 6.2・スペクトル定理と関数計算 この先をたどる →
• Γ と生成・消滅作用素✓命題 3.3・第二量子化作用素 Γ(U) と dΓ(A)

  • $B^{⊗n}$ は置換と可換✓命題 6.3・対称・反対称テンソル積と多粒子の Hilbert 空間
• Weyl 関係✓定理 4.2・Segal 場・Weyl 作用素・コヒーレント状態

  • Segal 場の基本性質✓命題 3.4・Segal 場・Weyl 作用素・コヒーレント状態（上で展開済み）
  • ユニタリ群とレゾルベントの表示✓定理 6.3・スペクトル定理と関数計算（上で展開済み）
  • Segal 場の本質的自己共役性✓定理 3.2・Segal 場・Weyl 作用素・コヒーレント状態 この先をたどる →
  • 解析ベクトル上の指数級数✓補題 2.2・Segal 場・Weyl 作用素・コヒーレント状態

    • スペクトル積分の基本定理✓定理 4.3・スペクトル定理と関数計算 この先をたどる →
  • 二重級数の和の順序交換✓定理 7.11・級数と収束判定 この先をたどる →
• Segal 場の $H_b$ に関する相対評価✓命題 2.2・Nelson 模型と spin-boson 模型

  • 消滅作用素の $H_b$ 有界性✓補題 2.1・Nelson 模型と spin-boson 模型 この先をたどる →
• Kato–Rellich の定理✓定理 3.2・自己共役性の判定

  • 自己共役性の基本判定✓命題 2.2・自己共役性の判定
• Weyl 作用素による場の平行移動✓系 4.4・Segal 場・Weyl 作用素・コヒーレント状態

  • Weyl 関係✓定理 4.2・Segal 場・Weyl 作用素・コヒーレント状態（上で展開済み）
  • 自己共役作用素はユニタリ群で決まる✓補題 2.2・第二量子化作用素 Γ(U) と dΓ(A) この先をたどる →

これを使っている定理 証明で参照している 1 件

• 有限の切断での Gross 変換の共役公式✓補題 7.9・Nelson 模型と spin-boson 模型