物理学 › フォック空間と第二量子化 › Nelson 模型と spin-boson 模型有料章

消滅作用素の $H_b$ 有界性

補題 2.1（「Nelson 模型と spin-boson 模型」§2） ・ ✓公理まで証明済み

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 83 件、定義なども含めて 100 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

• dΓ(A) の自己共役性と $Γ(e^{itA})$✓定理 4.2・第二量子化作用素 Γ(U) と dΓ(A)

  • 自己共役作用素の直和✓補題 2.3・第二量子化作用素 Γ(U) と dΓ(A)

    • 自己共役性の基本判定✓定理 4.3・対称作用素と自己共役拡大

      • 対称作用素の基本評価✓補題 4.1・対称作用素と自己共役拡大 この先をたどる →
      • 値域と核の双対性✓補題 4.2・対称作用素と自己共役拡大 この先をたどる →
    • 時間発展の一意性✓補題 2.1・第二量子化作用素 Γ(U) と dΓ(A)（上で展開済み）
    • スペクトルはスペクトル測度の台✓命題 5.6・スペクトル定理と関数計算

      • スペクトル積分の基本定理✓定理 4.3・スペクトル定理と関数計算 この先をたどる →
    • ユニタリ群とレゾルベントの表示✓定理 6.3・スペクトル定理と関数計算（上で展開済み）
  • 1 粒子作用素の和の自己共役性と簡約✓定理 6.5・対称・反対称テンソル積と多粒子の Hilbert 空間

    • 対称テンソルの分極公式✓命題 3.6・対称・反対称テンソル積と多粒子の Hilbert 空間

      • 置換作用素定義 3.1・対称・反対称テンソル積と多粒子の Hilbert 空間
    • テンソル積の基本性質✓命題 2.2・対称・反対称テンソル積と多粒子の Hilbert 空間

      • Hilbert 空間のテンソル積定義 3.2・Hilbert 空間のテンソル積と直積分
      • テンソル積上の内積✓命題 3.1・Hilbert 空間のテンソル積と直積分
      • 有界作用素のテンソル積✓命題 4.1・Hilbert 空間のテンソル積と直積分
      • L²(X)⊗L²(Y) ≅ L²(X×Y)✓定理 3.5・Hilbert 空間のテンソル積と直積分
    • 解析ベクトル定義 7.4・自己共役性の判定
    • Nelson の解析ベクトル定理✓定理 7.5・自己共役性の判定

      • 本質的自己共役性の判定✓系 4.4・対称作用素と自己共役拡大 この先をたどる →
      • von Neumann の拡大定理✓定理 5.4・対称作用素と自己共役拡大 この先をたどる →
      • ユニタリ群とレゾルベントの表示✓定理 6.3・スペクトル定理と関数計算（上で展開済み）
      • テイラーの定理（ラグランジュの剰余）✓定理 5.3・平均値の定理とテイラーの定理 この先をたどる →
    • 射影で簡約される自己共役作用素✓補題 6.4・対称・反対称テンソル積と多粒子の Hilbert 空間

      • 自己共役性の基本判定✓命題 2.2・自己共役性の判定
  • ユニタリ群とレゾルベントの表示✓定理 6.3・スペクトル定理と関数計算

    • 有界ボレル関数計算✓定理 6.2・スペクトル定理と関数計算 この先をたどる →
    • スペクトルはスペクトル測度の台✓命題 5.6・スペクトル定理と関数計算（上で展開済み）
  • 時間発展の一意性✓補題 2.1・第二量子化作用素 Γ(U) と dΓ(A)

    • ユニタリ群とレゾルベントの表示✓定理 6.3・スペクトル定理と関数計算（上で展開済み）
  • 第二量子化作用素 dΓ(A)定義 4.1・第二量子化作用素 Γ(U) と dΓ(A)
  • 数作用素定義 3.2・ボソン Fock 空間と生成・消滅作用素
  • Γ の関手性✓命題 3.2・第二量子化作用素 Γ(U) と dΓ(A)

    • テンソル積の基本性質✓命題 2.2・対称・反対称テンソル積と多粒子の Hilbert 空間（上で展開済み）
  • 可換性の同値な言い換え✓命題 7.2・スペクトル定理と関数計算

    • 有界ボレル関数計算✓定理 6.2・スペクトル定理と関数計算 この先をたどる →
• 正準交換関係✓定理 5.2・ボソン Fock 空間と生成・消滅作用素

  • 対称化と部分内積の交換公式✓補題 5.1・ボソン Fock 空間と生成・消滅作用素

    • 部分内積の性質✓補題 4.1・ボソン Fock 空間と生成・消滅作用素（上で展開済み）
    • ボソン・フェルミオンの n 粒子空間定義 3.5・対称・反対称テンソル積と多粒子の Hilbert 空間
  • 部分内積の性質✓補題 4.1・ボソン Fock 空間と生成・消滅作用素

    • $S_n$ と $A_n$ は直交射影✓定理 3.4・対称・反対称テンソル積と多粒子の Hilbert 空間 この先をたどる →
• 生成・消滅作用素の閉性と共役関係✓定理 4.3・ボソン Fock 空間と生成・消滅作用素

  • 部分内積の性質✓補題 4.1・ボソン Fock 空間と生成・消滅作用素（上で展開済み）
  • 成分ごとの作用素の閉性と共役✓補題 2.1・ボソン Fock 空間と生成・消滅作用素

    • 共役作用素は閉✓定理 5.4・非有界作用素

      • 共役のグラフ✓補題 5.3・非有界作用素 この先をたどる →
  • 可閉性と共役の稠密性✓定理 5.5・非有界作用素

    • 共役のグラフ✓補題 5.3・非有界作用素 この先をたどる →
    • 可閉性の判定✓命題 4.6・非有界作用素

これを使っている定理 証明で参照している 6 件

• 1 励起部分空間は Friedrichs 模型✓定理 11.2・共鳴
• Segal 場の $H_b$ に関する相対評価✓命題 2.2・Nelson 模型と spin-boson 模型
• 1 次の摂動を受けた自由場の下界✓命題 2.3・Nelson 模型と spin-boson 模型
• くりこまれた形式の一様な評価✓補題 7.6・Nelson 模型と spin-boson 模型
• 有限の切断での Gross 変換後のハミルトニアン✓補題 7.10・Nelson 模型と spin-boson 模型
• Segal 場の 2 乗の評価✓補題 2.3・Pauli–Fierz 模型と赤外問題