von Neumann の拡大定理

$T$ を $\mathcal{H}$ における閉な対称作用素とし、$\mathcal{K}_\pm$ をその不足部分空間とする。

1. $\mathcal{K}_+$ の部分空間 $\mathcal{I}$ と線形な等長写像 $U\colon\mathcal{I}\to\mathcal{K}_-$ の組に対し、

で定まる $T_U$ は $T$ の対称拡大である。逆に、$T$ の対称拡大はすべて、ちょうど 1 つの組 $(\mathcal{I},U)$ によってこの形に書ける。$T_U$ が閉であることと $\mathcal{I}$ が閉であることは同値である。 2. $T_U$ が自己共役であることと、$\mathcal{I}=\mathcal{K}_+$ かつ $U(\mathcal{K}_+)=\mathcal{K}_-$（$U$ が $\mathcal{K}_+$ から $\mathcal{K}_-$ へのユニタリ写像）であることは同値である。 3. したがって $T$ が自己共役拡大を持つことと $n_+=n_-$ は同値であり、そのとき $T$ の自己共役拡大全体はユニタリ写像 $U\colon\mathcal{K}_+\to\mathcal{K}_-$ 全体と 1 対 1 に対応する。