数学 › 関数解析と作用素論 › 対称作用素と自己共役拡大

不足指数による分類

系 5.6（「対称作用素と自己共役拡大」§5）・ ✓公理まで証明済み

$T$ を閉な対称作用素とする。

$n_+=n_-=0$ $\iff$ $T$ は自己共役。
$n_+=n_-=n\ge1$ のとき、 $T$ の自己共役拡大は無限個あり、 $n\lt\infty$ ならユニタリ群 $\mathrm{U}(n)$ でパラメータ付けられる。
$n_+\ne n_-$ のとき、 $T$ は自己共役拡大を持たない。さらに $n_+=0$ または $n_-=0$ なら、 $T$ は自分自身以外に対称拡大を持たない（極大対称）。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 8 件、定義なども含めて 8 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

自己共役性の基本判定✓定理 4.3・対称作用素と自己共役拡大
- 対称作用素の基本評価✓補題 4.1・対称作用素と自己共役拡大
  - 閉性の言い換え✓命題 4.2・非有界作用素
- 値域と核の双対性✓補題 4.2・対称作用素と自己共役拡大
  - 共役の基本性質✓命題 5.6・非有界作用素
von Neumann の拡大定理✓定理 5.4・対称作用素と自己共役拡大
- 共役の基本性質✓命題 5.6・非有界作用素
- 境界形式✓補題 5.3・対称作用素と自己共役拡大
- von Neumann の第 1 公式✓補題 5.2・対称作用素と自己共役拡大

これを使っている定理証明で参照している 2 件

半直線上の強時間作用素✓補題 4.4・時間作用素と Weyl 関係
Aharonov–Bohm 時間作用素は強時間作用素✓定理 7.2・時間作用素と Weyl 関係

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