数学 › 関数解析と作用素論 › 対称作用素と自己共役拡大

自己共役性の基本判定

定理 4.3（「対称作用素と自己共役拡大」§4）・ ✓公理まで証明済み

$T$ を $\mathcal{H}$ における対称作用素とする。次は同値である。

$T$ は自己共役である。
$T$ は閉で、 $\mathrm{Ker}(T^*-i)=\mathrm{Ker}(T^*+i)=\{0\}$ である。
$\mathrm{Ran}(T-i)=\mathrm{Ran}(T+i)=\mathcal{H}$ である。

とくに $T$ が閉な対称作用素ならば、 $T$ が自己共役 $\iff$ $\mathrm{Ran}(T\pm i)=\mathcal{H}$ $\iff$ $\mathrm{Ker}(T^*\pm i)=\{0\}$ である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 4 件、定義なども含めて 4 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

対称作用素の基本評価✓補題 4.1・対称作用素と自己共役拡大
- 閉性の言い換え✓命題 4.2・非有界作用素
値域と核の双対性✓補題 4.2・対称作用素と自己共役拡大
- 共役の基本性質✓命題 5.6・非有界作用素

これを使っている定理証明で参照している 4 件

擬レゾルベントから自己共役作用素へ✓補題 3.1・ゼロ距離相互作用
本質的自己共役性の判定✓系 4.4・対称作用素と自己共役拡大
不足指数による分類✓系 5.6・対称作用素と自己共役拡大
自己共役作用素の直和✓補題 2.3・第二量子化作用素 Γ(U) と dΓ(A)

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