物理学 › フォック空間と第二量子化 › Segal 場・Weyl 作用素・コヒーレント状態有料章

Weyl 関係

定理 4.2（「Segal 場・Weyl 作用素・コヒーレント状態」§4） ・ ✓公理まで証明済み

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 105 件、定義なども含めて 124 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 5 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

• Segal 場の基本性質✓命題 3.4・Segal 場・Weyl 作用素・コヒーレント状態

  • f についての反線形性と線形性✓命題 4.5・ボソン Fock 空間と生成・消滅作用素

    • 部分内積の性質✓補題 4.1・ボソン Fock 空間と生成・消滅作用素 この先をたどる →
  • 数作用素による相対評価✓定理 6.1・ボソン Fock 空間と生成・消滅作用素

    • 部分内積の性質✓補題 4.1・ボソン Fock 空間と生成・消滅作用素 この先をたどる →
    • 数作用素の基本性質✓命題 3.3・ボソン Fock 空間と生成・消滅作用素 この先をたどる →
  • 正準交換関係✓定理 5.2・ボソン Fock 空間と生成・消滅作用素

    • 対称化と部分内積の交換公式✓補題 5.1・ボソン Fock 空間と生成・消滅作用素 この先をたどる →
    • 部分内積の性質✓補題 4.1・ボソン Fock 空間と生成・消滅作用素 この先をたどる →
  • Γ と生成・消滅作用素✓命題 3.3・第二量子化作用素 Γ(U) と dΓ(A)

    • $B^{⊗n}$ は置換と可換✓命題 6.3・対称・反対称テンソル積と多粒子の Hilbert 空間
  • dΓ(A) の自己共役性と $Γ(e^{itA})$✓定理 4.2・第二量子化作用素 Γ(U) と dΓ(A)

    • 自己共役作用素の直和✓補題 2.3・第二量子化作用素 Γ(U) と dΓ(A) この先をたどる →
    • 1 粒子作用素の和の自己共役性と簡約✓定理 6.5・対称・反対称テンソル積と多粒子の Hilbert 空間 この先をたどる →
    • ユニタリ群とレゾルベントの表示✓定理 6.3・スペクトル定理と関数計算（上で展開済み）
    • 時間発展の一意性✓補題 2.1・第二量子化作用素 Γ(U) と dΓ(A) この先をたどる →
    • 第二量子化作用素 dΓ(A)定義 4.1・第二量子化作用素 Γ(U) と dΓ(A)
    • 数作用素定義 3.2・ボソン Fock 空間と生成・消滅作用素
    • Γ の関手性✓命題 3.2・第二量子化作用素 Γ(U) と dΓ(A) この先をたどる →
    • 可換性の同値な言い換え✓命題 7.2・スペクトル定理と関数計算 この先をたどる →
• ユニタリ群とレゾルベントの表示✓定理 6.3・スペクトル定理と関数計算

  • 有界ボレル関数計算✓定理 6.2・スペクトル定理と関数計算

    • 有界関数のスペクトル積分✓命題 4.1・スペクトル定理と関数計算 この先をたどる →
    • スペクトルはスペクトル測度の台✓命題 5.6・スペクトル定理と関数計算（上で展開済み）
    • スペクトル積分の基本定理✓定理 4.3・スペクトル定理と関数計算 この先をたどる →
    • ユニタリ作用素のスペクトル定理✓定理 5.3・スペクトル定理と関数計算 この先をたどる →
  • スペクトルはスペクトル測度の台✓命題 5.6・スペクトル定理と関数計算

    • スペクトル積分の基本定理✓定理 4.3・スペクトル定理と関数計算 この先をたどる →
• Segal 場の本質的自己共役性✓定理 3.2・Segal 場・Weyl 作用素・コヒーレント状態

  • 生成・消滅作用素の閉性と共役関係✓定理 4.3・ボソン Fock 空間と生成・消滅作用素

    • 部分内積の性質✓補題 4.1・ボソン Fock 空間と生成・消滅作用素 この先をたどる →
    • 成分ごとの作用素の閉性と共役✓補題 2.1・ボソン Fock 空間と生成・消滅作用素 この先をたどる →
    • 可閉性と共役の稠密性✓定理 5.5・非有界作用素 この先をたどる →
  • 有限粒子ベクトル上の評価✓補題 2.1・Segal 場・Weyl 作用素・コヒーレント状態

    • 数作用素による相対評価✓定理 6.1・ボソン Fock 空間と生成・消滅作用素（上で展開済み）
  • 解析ベクトル定義 7.4・自己共役性の判定
  • Nelson の解析ベクトル定理✓定理 7.5・自己共役性の判定

    • 本質的自己共役性の判定✓系 4.4・対称作用素と自己共役拡大 この先をたどる →
    • von Neumann の拡大定理✓定理 5.4・対称作用素と自己共役拡大 この先をたどる →
    • ユニタリ群とレゾルベントの表示✓定理 6.3・スペクトル定理と関数計算（上で展開済み）
    • テイラーの定理（ラグランジュの剰余）✓定理 5.3・平均値の定理とテイラーの定理 この先をたどる →
• 解析ベクトル上の指数級数✓補題 2.2・Segal 場・Weyl 作用素・コヒーレント状態

  • スペクトル積分の基本定理✓定理 4.3・スペクトル定理と関数計算 この先をたどる →
• 二重級数の和の順序交換✓定理 7.11・級数と収束判定

  • 正項級数の収束と有界性✓命題 4.1・級数と収束判定

    • 単調有界定理✓定理 2.1・級数と収束判定
  • 数列の極限の基本性質✓命題 2.2・数列と関数の極限
  • 複素数の数列・級数の基本性質✓補題 7.8・級数と収束判定 この先をたどる →
  • ディリクレの定理（絶対収束する級数の並べ替え）✓定理 7.10・級数と収束判定 この先をたどる →
  • 比較判定法✓定理 4.2・級数と収束判定 この先をたどる →

これを使っている定理 証明で参照している 15 件

• Araki–Woods 表現✓命題 4.1・CCR・CAR 代数と準自由状態
• Araki–Woods 状態の KMS 性✓補題 3.2・Liouvillean と熱平衡への回帰
• ハイゼンベルク描像の場の微分✓補題 2.1・場の量子論の模型の散乱理論
• 漸近場の基本性質✓命題 3.3・場の量子論の模型の散乱理論
• くさびの環での KMS 条件✓補題 5.3・局所ネットのモジュラー理論
• ボソン Fock 空間の基本事項（再掲）✓命題 2.1・自由スカラー場の Fock 空間上の構成
• 急な速度変化による放射（Bloch–Nordsieck）✓定理 4.1・赤外問題
• コヒーレント赤外表現の既約性と同値性✓定理 5.2・赤外問題
• Weyl 作用素による共役✓補題 7.8・Nelson 模型と spin-boson 模型
• 有限の切断での Gross 変換の共役公式✓補題 7.9・Nelson 模型と spin-boson 模型
• シフトした調和振動子✓補題 4.1・量子 Rabi 模型と Jaynes–Cummings 模型
• Weyl 作用素による場の平行移動✓系 4.4・Segal 場・Weyl 作用素・コヒーレント状態
• Segal 場の強可換性の判定✓定理 5.1・Segal 場・Weyl 作用素・コヒーレント状態
• 虚時間で作った状態の非 Fock 極限✓命題 6.3・Gell-Mann–Low 公式の厳密版
• 1 区間の発展とコヒーレントベクトル✓補題 6.1・spin-boson・Kondo・共鳴準位模型

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