物理学 › フォック空間と第二量子化 › 自由スカラー場の Fock 空間上の構成有料章

ボソン Fock 空間の基本事項（再掲）

命題 2.1（「自由スカラー場の Fock 空間上の構成」§2） ・ ✓公理まで証明済み

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 117 件、定義なども含めて 136 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 14 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

• 生成・消滅作用素の閉性と共役関係✓定理 4.3・ボソン Fock 空間と生成・消滅作用素

  • 部分内積の性質✓補題 4.1・ボソン Fock 空間と生成・消滅作用素

    • $S_n$ と $A_n$ は直交射影✓定理 3.4・対称・反対称テンソル積と多粒子の Hilbert 空間 この先をたどる →
  • 成分ごとの作用素の閉性と共役✓補題 2.1・ボソン Fock 空間と生成・消滅作用素

    • 共役作用素は閉✓定理 5.4・非有界作用素 この先をたどる →
  • 可閉性と共役の稠密性✓定理 5.5・非有界作用素

    • 共役のグラフ✓補題 5.3・非有界作用素 この先をたどる →
    • 可閉性の判定✓命題 4.6・非有界作用素
• 正準交換関係✓定理 5.2・ボソン Fock 空間と生成・消滅作用素

  • 対称化と部分内積の交換公式✓補題 5.1・ボソン Fock 空間と生成・消滅作用素 この先をたどる →
  • 部分内積の性質✓補題 4.1・ボソン Fock 空間と生成・消滅作用素（上で展開済み）
• 数作用素による相対評価✓定理 6.1・ボソン Fock 空間と生成・消滅作用素

  • 部分内積の性質✓補題 4.1・ボソン Fock 空間と生成・消滅作用素（上で展開済み）
  • 数作用素の基本性質✓命題 3.3・ボソン Fock 空間と生成・消滅作用素 この先をたどる →
• 生成・消滅作用素のノルムの関係✓系 6.3・ボソン Fock 空間と生成・消滅作用素

  • 生成・消滅作用素の閉性と共役関係✓定理 4.3・ボソン Fock 空間と生成・消滅作用素（上で展開済み）
  • 正準交換関係✓定理 5.2・ボソン Fock 空間と生成・消滅作用素（上で展開済み）
  • 数作用素の基本性質✓命題 3.3・ボソン Fock 空間と生成・消滅作用素 この先をたどる →
  • 数作用素による相対評価✓定理 6.1・ボソン Fock 空間と生成・消滅作用素（上で展開済み）
• Segal 場の本質的自己共役性✓定理 3.2・Segal 場・Weyl 作用素・コヒーレント状態

  • 生成・消滅作用素の閉性と共役関係✓定理 4.3・ボソン Fock 空間と生成・消滅作用素（上で展開済み）
  • 有限粒子ベクトル上の評価✓補題 2.1・Segal 場・Weyl 作用素・コヒーレント状態 この先をたどる →
  • 解析ベクトル定義 7.4・自己共役性の判定
  • Nelson の解析ベクトル定理✓定理 7.5・自己共役性の判定 この先をたどる →
• Segal 場の基本性質✓命題 3.4・Segal 場・Weyl 作用素・コヒーレント状態

  • f についての反線形性と線形性✓命題 4.5・ボソン Fock 空間と生成・消滅作用素 この先をたどる →
  • 数作用素による相対評価✓定理 6.1・ボソン Fock 空間と生成・消滅作用素（上で展開済み）
  • 正準交換関係✓定理 5.2・ボソン Fock 空間と生成・消滅作用素（上で展開済み）
  • Γ と生成・消滅作用素✓命題 3.3・第二量子化作用素 Γ(U) と dΓ(A)（上で展開済み）
  • dΓ(A) の自己共役性と $Γ(e^{itA})$✓定理 4.2・第二量子化作用素 Γ(U) と dΓ(A) この先をたどる →
• Weyl 関係✓定理 4.2・Segal 場・Weyl 作用素・コヒーレント状態

  • Segal 場の基本性質✓命題 3.4・Segal 場・Weyl 作用素・コヒーレント状態（上で展開済み）
  • ユニタリ群とレゾルベントの表示✓定理 6.3・スペクトル定理と関数計算 この先をたどる →
  • Segal 場の本質的自己共役性✓定理 3.2・Segal 場・Weyl 作用素・コヒーレント状態（上で展開済み）
  • 解析ベクトル上の指数級数✓補題 2.2・Segal 場・Weyl 作用素・コヒーレント状態 この先をたどる →
  • 二重級数の和の順序交換✓定理 7.11・級数と収束判定 この先をたどる →
• Weyl 作用素の真空期待値✓系 6.3・Segal 場・Weyl 作用素・コヒーレント状態

  • 真空に Weyl 作用素を施したベクトル✓定理 6.2・Segal 場・Weyl 作用素・コヒーレント状態 この先をたどる →
  • 指数ベクトル✓補題 6.1・Segal 場・Weyl 作用素・コヒーレント状態 この先をたどる →
• Γ の関手性✓命題 3.2・第二量子化作用素 Γ(U) と dΓ(A)

  • テンソル積の基本性質✓命題 2.2・対称・反対称テンソル積と多粒子の Hilbert 空間 この先をたどる →
• Γ と生成・消滅作用素✓命題 3.3・第二量子化作用素 Γ(U) と dΓ(A)

  • $B^{⊗n}$ は置換と可換✓命題 6.3・対称・反対称テンソル積と多粒子の Hilbert 空間
• dΓ(A) の自己共役性と $Γ(e^{itA})$✓定理 4.2・第二量子化作用素 Γ(U) と dΓ(A) この先をたどる →
• dΓ(A) と生成・消滅作用素の交換関係✓定理 5.1・第二量子化作用素 Γ(U) と dΓ(A)

  • dΓ(A) の自己共役性と $Γ(e^{itA})$✓定理 4.2・第二量子化作用素 Γ(U) と dΓ(A) この先をたどる →
• dΓ(A) のスペクトル✓定理 7.1・第二量子化作用素 Γ(U) と dΓ(A) この先をたどる →
• 真空の巡回性✓定理 7.2・ボソン Fock 空間と生成・消滅作用素

  • 真空に生成作用素を施したベクトル✓命題 7.1・ボソン Fock 空間と生成・消滅作用素 この先をたどる →
  • 対称テンソルの分極公式✓命題 3.6・対称・反対称テンソル積と多粒子の Hilbert 空間 この先をたどる →

これを使っている定理 証明で参照している 8 件

• 時間ゼロ場の正準交換関係✓命題 3.3・自由スカラー場の Fock 空間上の構成
• エネルギー・運動量スペクトル✓命題 4.2・自由スカラー場の Fock 空間上の構成
• Fock 空間上の Poincaré 群のユニタリ表現✓定理 4.4・自由スカラー場の Fock 空間上の構成
• 自由場は Klein–Gordon 方程式を満たす作用素値超関数✓定理 5.2・自由スカラー場の Fock 空間上の構成
• 自由スカラー場は Wightman 公理を満たす✓定理 6.3・自由スカラー場の Fock 空間上の構成
• Weyl 作用素によるシフト✓命題 2.1・van Hove 模型
• van Hove ハミルトニアンの対角化✓定理 4.1・van Hove 模型
• スペクトルと基底状態✓系 4.2・van Hove 模型