物理学 › フォック空間と第二量子化 › 自由スカラー場の Fock 空間上の構成有料章

自由スカラー場は Wightman 公理を満たす

定理 6.3（「自由スカラー場の Fock 空間上の構成」§6） ・ ✓公理まで証明済み

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 133 件、定義なども含めて 154 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 7 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

• Fock 空間上の Poincaré 群のユニタリ表現✓定理 4.4・自由スカラー場の Fock 空間上の構成

  • ボソン Fock 空間の基本事項（再掲）✓命題 2.1・自由スカラー場の Fock 空間上の構成（上で展開済み）
• エネルギー・運動量スペクトル✓命題 4.2・自由スカラー場の Fock 空間上の構成

  • ボソン Fock 空間の基本事項（再掲）✓命題 2.1・自由スカラー場の Fock 空間上の構成（上で展開済み）
  • 可換性の同値な言い換え✓命題 7.2・スペクトル定理と関数計算

    • 有界ボレル関数計算✓定理 6.2・スペクトル定理と関数計算 この先をたどる →
  • 結合スペクトル測度と同時対角化✓定理 7.3・スペクトル定理と関数計算

    • 自己共役作用素の（強）可換性定義 7.1・スペクトル定理と関数計算
    • 射影値測度の基本性質✓命題 3.2・スペクトル定理と関数計算
    • 有限加法的な関数の単調性と劣加法性✓補題 4.1・測度空間と Carathéodory の拡張定理
    • Carathéodory の拡張定理（一般形）✓定理 4.2・測度空間と Carathéodory の拡張定理 この先をたどる →
    • Dynkin の π-λ 定理✓定理 4.4・測度空間と Carathéodory の拡張定理
    • 射影値測度（スペクトル測度）定義 3.1・スペクトル定理と関数計算
    • 非有界関数のスペクトル積分定義 4.2・スペクトル定理と関数計算
    • スペクトル定理（射影値測度版）✓定理 5.5・スペクトル定理と関数計算 この先をたどる →
    • 測度の一意性✓定理 4.5・測度空間と Carathéodory の拡張定理 この先をたどる →
    • スペクトル定理（掛け算作用素版）✓定理 5.7・スペクトル定理と関数計算 この先をたどる →
• Stone の定理✓定理 3.1・1 径数ユニタリ群と強連続半群

  • 自己共役性の基本判定✓命題 2.2・自己共役性の判定
  • 自己共役作用素が定めるユニタリ群✓命題 2.2・1 径数ユニタリ群と強連続半群
• ボソン Fock 空間の基本事項（再掲）✓命題 2.1・自由スカラー場の Fock 空間上の構成

  • 生成・消滅作用素の閉性と共役関係✓定理 4.3・ボソン Fock 空間と生成・消滅作用素

    • 部分内積の性質✓補題 4.1・ボソン Fock 空間と生成・消滅作用素 この先をたどる →
    • 成分ごとの作用素の閉性と共役✓補題 2.1・ボソン Fock 空間と生成・消滅作用素 この先をたどる →
    • 可閉性と共役の稠密性✓定理 5.5・非有界作用素 この先をたどる →
  • 正準交換関係✓定理 5.2・ボソン Fock 空間と生成・消滅作用素

    • 対称化と部分内積の交換公式✓補題 5.1・ボソン Fock 空間と生成・消滅作用素 この先をたどる →
    • 部分内積の性質✓補題 4.1・ボソン Fock 空間と生成・消滅作用素 この先をたどる →
  • 数作用素による相対評価✓定理 6.1・ボソン Fock 空間と生成・消滅作用素

    • 部分内積の性質✓補題 4.1・ボソン Fock 空間と生成・消滅作用素 この先をたどる →
    • 数作用素の基本性質✓命題 3.3・ボソン Fock 空間と生成・消滅作用素 この先をたどる →
  • 生成・消滅作用素のノルムの関係✓系 6.3・ボソン Fock 空間と生成・消滅作用素 この先をたどる →
  • Segal 場の本質的自己共役性✓定理 3.2・Segal 場・Weyl 作用素・コヒーレント状態 この先をたどる →
  • Segal 場の基本性質✓命題 3.4・Segal 場・Weyl 作用素・コヒーレント状態 この先をたどる →
  • Weyl 関係✓定理 4.2・Segal 場・Weyl 作用素・コヒーレント状態 この先をたどる →
  • Weyl 作用素の真空期待値✓系 6.3・Segal 場・Weyl 作用素・コヒーレント状態

    • 真空に Weyl 作用素を施したベクトル✓定理 6.2・Segal 場・Weyl 作用素・コヒーレント状態 この先をたどる →
    • 指数ベクトル✓補題 6.1・Segal 場・Weyl 作用素・コヒーレント状態 この先をたどる →
  • Γ の関手性✓命題 3.2・第二量子化作用素 Γ(U) と dΓ(A)

    • テンソル積の基本性質✓命題 2.2・対称・反対称テンソル積と多粒子の Hilbert 空間 この先をたどる →
  • Γ と生成・消滅作用素✓命題 3.3・第二量子化作用素 Γ(U) と dΓ(A) この先をたどる →
  • dΓ(A) の自己共役性と $Γ(e^{itA})$✓定理 4.2・第二量子化作用素 Γ(U) と dΓ(A) この先をたどる →
  • dΓ(A) と生成・消滅作用素の交換関係✓定理 5.1・第二量子化作用素 Γ(U) と dΓ(A) この先をたどる →
  • dΓ(A) のスペクトル✓定理 7.1・第二量子化作用素 Γ(U) と dΓ(A) この先をたどる →
  • 真空の巡回性✓定理 7.2・ボソン Fock 空間と生成・消滅作用素 この先をたどる →
• 自由場は Klein–Gordon 方程式を満たす作用素値超関数✓定理 5.2・自由スカラー場の Fock 空間上の構成

  • ボソン Fock 空間の基本事項（再掲）✓命題 2.1・自由スカラー場の Fock 空間上の構成（上で展開済み）
• 時間ゼロ場の正準交換関係✓命題 3.3・自由スカラー場の Fock 空間上の構成

  • ボソン Fock 空間の基本事項（再掲）✓命題 2.1・自由スカラー場の Fock 空間上の構成（上で展開済み）
• Pauli–Jordan 関数の台✓補題 6.2・自由スカラー場の Fock 空間上の構成

これを使っている定理 証明で参照している 1 件

• スカラーの交換関数の局所性✓補題 2.1・質量のあるベクトル場

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