Carathéodory の拡張定理（一般形）

定理 4.2（「測度空間と Carathéodory の拡張定理」§4）・ ✓公理まで証明済み

$\mathcal{A}$ を $X$ の代数、 $\mu_0$ を $\mathcal{A}$ 上の前測度とし、 $\mu^{*}$ を上のように定める。このとき

$\mu^{*}$ は外測度であり、 $A \in \mathcal{A}$ で $\mu^{*}(A) = \mu_0(A)$ 。
$\mathcal{A} \subset \mathcal{M}(\mu^{*})$ 。したがって $\sigma(\mathcal{A}) \subset \mathcal{M}(\mu^{*})$ であり、 $\mu = \mu^{*}|_{\sigma(\mathcal{A})}$ は $\sigma(\mathcal{A})$ 上の測度で $\mu|_{\mathcal{A}} = \mu_0$ を満たす。

すなわち、前測度は $\sigma(\mathcal{A})$ 上の測度に拡張できる。

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 2 件、定義なども含めて 2 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。