Kolmogorov の拡張定理

定理 4.1（「Kolmogorov の拡張定理と連続性定理」§4）・ ✓公理まで証明済み

$T$ を空でない集合、 $E$ を Polish 空間とし、 $(\mu_J)_{J\in\mathfrak{F}(T)}$ を整合的な確率測度の族とする（定義 2.3）。このとき $(E^T,\mathcal{B}(E)^{\otimes T})$ 上の確率測度 $P$ で、すべての $J\in\mathfrak{F}(T)$ について

P\circ\pi_J^{-1}=\mu_J

を満たすものがただ一つ存在する。特に、座標過程 $X_t=\pi_t$ は確率空間 $(E^T,\mathcal{B}(E)^{\otimes T},P)$ 上の確率過程で、その有限次元分布は $(\mu_J)$ である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 12 件、定義なども含めて 12 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 6 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

有限直積のボレル集合族✓補題 2.2・Kolmogorov の拡張定理と連続性定理
Ulam の定理✓定理 3.3・Kolmogorov の拡張定理と連続性定理
- 距離空間のコンパクト性の同値条件✓定理 4.3・距離空間（上で展開済み）
- 閉集合による正則性✓補題 3.2・Kolmogorov の拡張定理と連続性定理
  - 測度の基本性質✓命題 2.3・測度空間と Carathéodory の拡張定理（上で展開済み）
有限加法的な関数の単調性と劣加法性✓補題 4.1・測度空間と Carathéodory の拡張定理
距離空間のコンパクト性の同値条件✓定理 4.3・距離空間
- ルベーグ数の補題✓補題 4.2・距離空間
Carathéodory の拡張定理（一般形）✓定理 4.2・測度空間と Carathéodory の拡張定理
- 有限加法的な関数の単調性と劣加法性✓補題 4.1・測度空間と Carathéodory の拡張定理
- Carathéodory の定理（外測度から測度へ）✓定理 3.2・測度空間と Carathéodory の拡張定理
測度の一意性✓定理 4.5・測度空間と Carathéodory の拡張定理
- Dynkin の π-λ 定理✓定理 4.4・測度空間と Carathéodory の拡張定理
- 測度の基本性質✓命題 2.3・測度空間と Carathéodory の拡張定理
  - 測度の下からの連続性✓命題 2.1・ルベーグ積分の定義と収束定理

これを使っている定理証明で参照している 7 件

数列空間上の測度の拡張✓補題 4.2・核型空間と Bochner–Minlos の定理
二項分布の正規近似（de Moivre–Laplace）✓定理 5.2・確率分布と統計的な推測
Bernoulli シフトの構成✓補題 2.5・エルゴード定理
Gauss 過程の存在✓定理 5.3・Kolmogorov の拡張定理と連続性定理
4 次元 Ising 模型のスケーリング極限の Gauss 性（原論文 Theorem 1.2 の Ising 版）✓定理 7.5・Aizenman–Duminil-Copin『Marginal triviality of 4D Ising and φ⁴₄』(2021) 第 3 部
φ⁴₄ のスケーリング極限の Gauss 性（原論文 Theorem 1.2 の GS 族の場合）✓定理 7.3・Aizenman–Duminil-Copin『Marginal triviality of 4D Ising and φ⁴₄』(2021) 第 4 部
無限体積極限の存在✓定理 5.5・spin-boson 模型の Feynman–Kac 表示

Kolmogorov の拡張定理

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前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 6 件）

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