数学 › 確率論 › Kolmogorov の拡張定理と連続性定理

Ulam の定理

定理 3.3（「Kolmogorov の拡張定理と連続性定理」§3）・ ✓公理まで証明済み

$E$ を Polish 空間、 $\mu$ を $E$ 上の有限なボレル測度とする。

任意の $\varepsilon>0$ に対し、コンパクト集合 $K$ で $\mu(E\setminus K)<\varepsilon$ となるものがある（ $\mu$ は緊密である）。
任意のボレル集合 $A$ と $\varepsilon>0$ に対し、コンパクト集合 $K\subset A$ で $\mu(A\setminus K)<\varepsilon$ となるものがある（内部正則性）。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 5 件、定義なども含めて 5 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

距離空間のコンパクト性の同値条件✓定理 4.3・距離空間
- ルベーグ数の補題✓補題 4.2・距離空間
閉集合による正則性✓補題 3.2・Kolmogorov の拡張定理と連続性定理
- 測度の基本性質✓命題 2.3・測度空間と Carathéodory の拡張定理
  - 測度の下からの連続性✓命題 2.1・ルベーグ積分の定義と収束定理

これを使っている定理証明で参照している 4 件

有限ボレル測度の内部正則性✓補題 4.1・核型空間と Bochner–Minlos の定理
Kolmogorov の拡張定理✓定理 4.1・Kolmogorov の拡張定理と連続性定理
Prokhorov の定理（緊密ならば相対コンパクト）✓定理 3.3・確率測度の弱収束
Prokhorov の定理（逆）✓定理 3.4・確率測度の弱収束