数学 › 確率論 › 確率測度の弱収束

Prokhorov の定理（緊密ならば相対コンパクト）

定理 3.3（「確率測度の弱収束」§3） ・ ✓公理まで証明済み

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 25 件、定義なども含めて 30 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

• C(K) の可分性✓補題 3.2・確率測度の弱収束

  • 距離空間のコンパクト性の同値条件✓定理 4.3・距離空間

    • ルベーグ数の補題✓補題 4.2・距離空間
  • Stone–Weierstrass の定理（実数値）✓定理 4.3・Arzelà–Ascoli と Stone–Weierstrass

    • 絶対値関数の多項式による一様近似✓補題 4.1・Arzelà–Ascoli と Stone–Weierstrass

      • ディニの定理✓定理 4.3・関数列と一様収束 この先をたどる →
• Riesz–Markov–角谷の表現定理✓定理 4.1・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理

  • 開集合は μ*-可測✓補題 4.3・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理

    • Carathéodory の定理（外測度から測度へ）✓定理 3.2・測度空間と Carathéodory の拡張定理
  • コンパクト集合の測度✓補題 4.4・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理
  • 積分との一致✓補題 4.5・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理

    • コンパクト集合の測度✓補題 4.4・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理
• Ulam の定理✓定理 3.3・Kolmogorov の拡張定理と連続性定理

  • 距離空間のコンパクト性の同値条件✓定理 4.3・距離空間（上で展開済み）
  • 閉集合による正則性✓補題 3.2・Kolmogorov の拡張定理と連続性定理

    • 測度の基本性質✓命題 2.3・測度空間と Carathéodory の拡張定理

      • 測度の下からの連続性✓命題 2.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
• 単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理

  • 可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理

    • 可測性の同値な言い換え✓命題 3.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
    • 有理数の稠密性✓定理 5.2・実数の完備性とコーシー列

      • アルキメデスの原理✓定理 3.2・実数の完備性とコーシー列 この先をたどる →
      • 整数部分の存在✓補題 5.1・実数の完備性とコーシー列 この先をたどる →
  • 単関数の積分の基本性質✓補題 4.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
  • 単関数が定める測度✓補題 4.3・ルベーグ積分の定義と収束定理

    • 単関数の積分の基本性質✓補題 4.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
  • 測度の下からの連続性✓命題 2.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
  • 非負可測関数のルベーグ積分定義 5.1・ルベーグ積分の定義と収束定理

これを使っている定理 証明で参照している 5 件

• Gibbs 測度の存在✓定理 5.1・DLR 条件と Gibbs 測度
• Helly の選出定理（緊密な場合）✓系 3.5・確率測度の弱収束
• Helly の選出定理（漠収束）✓定理 3.6・確率測度の弱収束
• Krylov–Bogoliubov の定理✓定理 6.1・確率測度の弱収束
• [0,1] 上の測度のモーメントの収束✓補題 4.2・Aizenman–Duminil-Copin (2021) 第 2 部

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