物理学 › 構成的場の理論の原論文：反射正値性・クラスター展開・自明性 › Aizenman–Duminil-Copin (2021) 第 2 部有料章

[0,1] 上の測度のモーメントの収束

補題 4.2（「Aizenman–Duminil-Copin (2021) 第 2 部」§4） ・ ✓公理まで証明済み

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 35 件、定義なども含めて 40 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

• Stone–Weierstrass の定理（実数値）✓定理 4.3・Arzelà–Ascoli と Stone–Weierstrass

  • 絶対値関数の多項式による一様近似✓補題 4.1・Arzelà–Ascoli と Stone–Weierstrass

    • ディニの定理✓定理 4.3・関数列と一様収束

      • 一様収束定義 3.2・関数列と一様収束
      • ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理✓定理 6.3・実数の完備性とコーシー列 この先をたどる →
• 有界 Lipschitz 関数は測度を決める✓補題 2.2・確率測度の弱収束

  • ルベーグの優収束定理✓定理 7.3・ルベーグ積分の定義と収束定理

    • 零集合は積分に影響しない✓命題 6.4・ルベーグ積分の定義と収束定理

      • 測度の下からの連続性✓命題 2.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
      • 非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →
    • $L^1$ の線型性と三角不等式✓命題 7.2・ルベーグ積分の定義と収束定理

      • 非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →
      • 零集合は積分に影響しない✓命題 6.4・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
    • ファトゥの補題✓補題 6.1・ルベーグ積分の定義と収束定理

      • 可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
      • 単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
  • 測度の一意性✓定理 4.5・測度空間と Carathéodory の拡張定理

    • Dynkin の π-λ 定理✓定理 4.4・測度空間と Carathéodory の拡張定理
    • 測度の基本性質✓命題 2.3・測度空間と Carathéodory の拡張定理

      • 測度の下からの連続性✓命題 2.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
• Prokhorov の定理（緊密ならば相対コンパクト）✓定理 3.3・確率測度の弱収束

  • C(K) の可分性✓補題 3.2・確率測度の弱収束

    • 距離空間のコンパクト性の同値条件✓定理 4.3・距離空間

      • ルベーグ数の補題✓補題 4.2・距離空間
    • Stone–Weierstrass の定理（実数値）✓定理 4.3・Arzelà–Ascoli と Stone–Weierstrass（上で展開済み）
  • Riesz–Markov–角谷の表現定理✓定理 4.1・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理

    • 開集合は μ*-可測✓補題 4.3・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理

      • Carathéodory の定理（外測度から測度へ）✓定理 3.2・測度空間と Carathéodory の拡張定理
    • コンパクト集合の測度✓補題 4.4・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理
    • 積分との一致✓補題 4.5・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理

      • コンパクト集合の測度✓補題 4.4・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理
  • Ulam の定理✓定理 3.3・Kolmogorov の拡張定理と連続性定理

    • 距離空間のコンパクト性の同値条件✓定理 4.3・距離空間（上で展開済み）
    • 閉集合による正則性✓補題 3.2・Kolmogorov の拡張定理と連続性定理

      • 測度の基本性質✓命題 2.3・測度空間と Carathéodory の拡張定理（上で展開済み）
  • 単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理

    • 可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理

      • 可測性の同値な言い換え✓命題 3.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
      • 有理数の稠密性✓定理 5.2・実数の完備性とコーシー列 この先をたどる →
    • 単関数の積分の基本性質✓補題 4.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
    • 単関数が定める測度✓補題 4.3・ルベーグ積分の定義と収束定理

      • 単関数の積分の基本性質✓補題 4.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
    • 測度の下からの連続性✓命題 2.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
    • 非負可測関数のルベーグ積分定義 5.1・ルベーグ積分の定義と収束定理

これを使っている定理 証明で参照している 3 件

• スペクトル表示（原論文 Proposition 5.3 / A.6）✓命題 4.3・Aizenman–Duminil-Copin (2021) 第 2 部
• 対角方向の転送行列✓補題 4.4・Aizenman–Duminil-Copin (2021) 第 2 部
• Fourier 変換の単調性（原論文の式 (5.18) と Proposition 5.4）✓命題 5.4・Aizenman–Duminil-Copin (2021) 第 2 部