Aizenman–Duminil-Copin (2021) 第 2 部：2 点関数の弱い正則性 — Messager–Miracle-Solé 単調性・スペクトル表示・スライドする赤外評価・正則スケールの豊富さ

0. この記事の要点

格子の上の磁石の模型で、2 つの点の「揃いやすさ」が距離とともにどう弱まるかを調べます。厳密な式は分からなくても、遠いほど弱まる・急に崩れない・ある程度の速さより遅くは弱まらない、といった性質は、模型の鏡像対称性だけから取り出せます。本章はこの種の性質を整理し、4 次元の自明性の証明（第 3 部）で使う「2 点関数が素直にふるまう距離のスケールが十分たくさんある」という主張を証明します。

• Messager–Miracle-Solé（MMS）単調性。2 点関数 $S(x)=\langle\tau_0\tau_x\rangle$ は、格子の鏡映（座標の超平面・辺の中点・対角の超平面）について「同じ側にある点のほうが相関が強い」という不等式を満たします（定理 3.1）。その帰結として、$S$ は座標軸に沿って単調に減り、$S((\|x\|_\infty,0))\ge S(x)\ge S((\|x\|_1,0))$ です（命題 3.3）。
• スペクトル表示。転送行列が正の作用素であることから、軸方向の相関は $\int_{[0,1]}\lambda^{|n|}d\nu(\lambda)$ の形に書けます（命題 4.3）。ここから相関長が定まり、対数凸性と Fourier 変換の単調性が出ます（命題 5.4）。
• スライドする赤外評価。箱 $\Lambda_L$ で切った感受率は $\chi_L/L^2\le C_0(\chi_\ell+1/K)/\ell^2$（$L\ge\ell\ge1$）を満たします（定理 5.7）。$\ell=1$ とすれば座標空間の赤外評価 $S(x)\le C_1/(K|x|^{d-2})$ です（定理 5.8）。
• 下界と勾配。Simon の不等式から臨界点で $S(x)\ge c/(K|x|^{d-1})$（系 6.1）、スペクトル表示の対数凸性から勾配の評価（命題 6.2）が出ます。これらを合わせて、$n\le2^k\le N$ の中に、2 点関数が冪的減衰を仮定したときと同じようにふるまう「正則なスケール」が $c\log_2(N/n)$ 個以上あることを示します（定理 7.2）。
• 原論文から直した点があります。勾配評価の係数の比の向き（注意 6.3）、正則スケールの定理に要る $\log_2(N/n)\ge M_0$ の条件、スライドする赤外評価の次元の揃った形、スペクトル表示を有限の台の $v$ に限ったことなどです（注意 8.2）。

1. 動機

第 1 部では、臨界点の 2 点関数が $|x|^{-2}$ の冪で減衰すると仮定して、改良樹木図評価を導きました。仮定が使われたのは、(a) ある距離の 2 点関数が少し離れた距離の値と同程度であること、(b) 2 点関数の「勾配」が $S(x)/|x|$ 程度であること、(c) 遠くの 2 点関数が近くの値の半分以下に下がること、(d) 環の上の和（バブル）が各スケールで一定の割合で増えること、の 4 点です。冪的減衰は臨界現象の物理では当然視されますが、証明はありません。4 次元の Ising 模型で $S(x)\asymp|x|^{-2}$ が分かれば、この論文の議論はずっと短くなりますが、それは今も未解決です。

Aizenman と Duminil-Copin の発想は、「すべてのスケールで (a)〜(d) が成り立つ」ことの代わりに「それらが成り立つスケールが十分たくさんある」ことで間に合わせる、というものです。対数補正を取り出すには、交差が $\log L$ 個ほどのスケールで独立に起こることが要るだけなので、スケールの一定の割合が使えれば足ります。§5 はそのための 2 点関数の解析です。

ここで使う道具は古く、出所は反射正値性です。Messager–Miracle-Solé（1977）・Hegerfeldt（1977）・Schrader（1977）は、鏡映対称な領域で相関関数が鏡映について単調であることを示しました。転送行列の正値性によるスペクトル表示は Glimm–Jaffe（1973）以来の標準的な道具で、Sokal（1982）はそれを感受率と相関長の比較に使いました。本論文の新しい点は、Fourier 変換の単調性を尺度変換と組み合わせたスライドする赤外評価と、それを使った正則スケールの数え上げです。

この章の結果のうち、MMS 単調性・スペクトル表示・勾配評価は、反射対称性と最近接の正の結合だけから従い、相関不等式（GKS や Lebowitz）を本質的には使いません。相関不等式は、無限体積の状態の存在と境界条件によらないこと、および Simon の不等式による下界でだけ使います（注意 8.1）。QED₄ のような相関不等式のない反射正値な模型で 2 点関数の正則性を論じるなら、使えるのは前者の部分です。本テーマの Aizenman（1982）の章も、この章の座標空間の赤外評価と MMS の比較を使います。

3 種類の鏡映。左: 格子点を通る超平面、中: 辺の中点を通る超平面、右: 対角の超平面。同じ側の 2 点（●）の相関は、片方を鏡像（○）に移すと弱くなる。

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