Gawędzki–Kupiainen『Massless lattice φ⁴₄ theory』(1985) 第 4 部：帰納的評価 II — 大場の評価、質量と波動関数のくりこみ、熱力学極限と赤外漸近自由性

0. この記事の要点

• 格子の上の場を少しずつ粗く見ていく操作を無限に繰り返しても、場どうしの相互作用の強さが発散せず、むしろゆっくり $0$ に近づいていくことを最後まで示します。これが「赤外漸近自由性」で、K. Gawędzki と A. Kupiainen の 1985 年の論文の主結果です。本章は論文の §10–§12 と Appendix 2 を読みます。
• 場が大きい領域（大場）では相互作用は小さくありません。そこでは重み（Boltzmann 因子）が $\exp[C_2\cdot(\text{体積})-\lambda^{1/2}\!\int|\psi|^2]$ の形で抑えられること（原論文 (6.5)）だけを保ちます。定数 $C_2$ は 1 段ごとに $L^4$ 倍に増えようとしますが、「場が大きい領域では $\int|\psi|^2$ も大きい」という評価（定理 5.3）で増加分を打ち消します（定理 5.5）。
• 場の 2 次の項からは、運動量 $0$ の部分（質量の変化 $\delta m^2$）と $p^2$ の部分（運動項の係数の変化 $\delta c$、波動関数くりこみ $\zeta$）を取り出します。道具は、帯で解析的な周期関数を $\prod(e^{-\mathrm ip_\mu}-1)$ で割る Gleason 型の補題（定理 6.1）です。$|\zeta-1|$、$|\delta m^2|$ は $(n_0+n)^{-7/4}$ 程度です（定理 7.9）。
• 質量は 1 段ごとに $L^2$ 倍に拡大する関連な変数なので、初期値 $m_0^2$ を 1 点に調整します。入れ子の閉区間の共通部分として臨界質量が得られ（定理 8.21）、そこで有効相互作用は $V^n(\mathcal A_n\phi)=O(1/(n_0+n))\to0$ を満たします（定理 8.23）。
• 原論文が「同様に」「容易に」と書いた段は補いました。小場の評価（第 3 部）と核の評価（第 1 部）に依存する箇所は、使う主張を 定義 2.1 に列挙し、それぞれが第 1・3 部のどの定理であるかを 命題 2.2 で示します。1 段の帰納法（Main Technical Result）も第 3 部の定理なので（命題 8.2）、主結果が仮定するのは定数の選び方についての条件 (Z)（定義 8.1）だけです。原論文と違う証明をとった箇所は 注意 8.26 にまとめます。

1. 動機

顕微鏡の倍率を少しずつ下げながら物質を見ていくと、細かい構造は平均されて消え、残るのは少数の量だけになります。臨界点にある 4 次元の $\phi^4$ 模型では、残る量は「場どうしがどれだけ強く相互作用するか」を表す 1 つの数 $\lambda$ で、倍率を 1 段下げるごとに $\lambda$ はほんの少しずつ小さくなると期待されます。本章は、この期待を数学の定理にする最後の部分です。

場の理論の言葉で言い直します。第 1 部 は ブロックスピン変換 の枠組みと、2 次の摂動計算による漸化式 $\lambda_{n+1}=\lambda_n-\alpha\lambda_n^2+\cdots$ を与えました。第 2 部 は、段 $n$ の有効相互作用 $V^n$ が毎回同じ「一般形」をもつことを恒等式として示し、第 3 部 は一般形の中の量の大きさ（帰納的評価、原論文 (6.1)–(6.5)）を定めて小場の部分を扱います。残っているのは次の三つです。

1. 大場の評価の反復（原論文 §10）。 大場の領域 $D$ では、Boltzmann 因子を表す関数 $g^D_X$ の上界 (6.5) だけを保ちます。1 段のくりこみ群変換のあとの新しい $g'^{D'}_X$ は、古い $g$ の積を揺らぎ場で積分したものなので、指数の中の定数 $C_2|D\cap X|$ は、段 $n+1$ のブロック 1 個が段 $n$ のブロック $L^4$ 個からなることを反映して $L^4C_2|D'\cap X|$ に増えます。場に依らない摂動（定数項）は 関連 な方向なので、放っておけば発散します。これを抑えるのが 2 次の項 $-\lambda^{1/2}\!\int|\psi|^2$ で、こちらも $L^2$ 倍に強まります。大場の定義から、大場の領域の中のどこかでは $|\psi|\ge O(C_1\bar n^{1/4})$ なので、$C_1$ を大きくとれば 2 次の項が定数項の増加に勝つ、というのが筋書きです。
2. 質量と波動関数のくりこみ（§11、Appendix 2）。 有効相互作用の 2 次の項は非局所的な核で与えられます。そこから局所的な質量項 $\frac12\delta m^2\!\int\psi^2$ と運動項 $\frac12\delta c\!\int(\partial\psi)^2$ を取り出し、後者を場の規格化 $\zeta$ に吸収します。
3. 体積によらない評価から主結果へ（§12）。 質量 $m_n^2$ が区間 $I_n=[-\bar n^{-3/2},\bar n^{-3/2}]$ に留まるという仮定を、初期値の調整で実現します。

原論文の式と本章の環境の対応は次のとおりです。

原論文	本章
(6.7)	補題 3.1
(10.1)–(10.10)	補題 3.2、補題 3.3、命題 3.5
(10.11)–(10.21)	補題 4.1、命題 4.2、補題 4.3
(10.22)–(10.28)	補題 4.4、命題 4.5、定理 4.6
(10.29)–(10.33)	命題 5.4
(10.34)–(10.48)	補題 5.1、補題 5.2、定理 5.3
(10.49)	定理 5.5
Appendix 2 の Lemma	定理 6.1
(11.1)–(11.7)	補題 7.2、補題 7.3
(11.8)–(11.16)、(A2.15)–(A2.17)	補題 7.4、命題 7.5
(11.17)–(11.27)	定理 7.7、命題 7.8、定理 7.9
§12	定義 8.5〜系 8.24

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