Brydges–Fröhlich–Seiler『On the construction of quantized gauge fields I』(1979) 第 2 部：共変 Laplacian の Kato 型不等式とアーベル Higgs 模型の強い反磁性不等式

0. この記事の要点

• 電荷をもつ粒子を外から与えた磁場の中に置くと、粒子の「広がりやすさ」は磁場がないときより小さくなります。経路ごとに位相が付き、足し合わせると打ち消し合うからです。D. Brydges、J. Fröhlich、E. Seiler の 1979 年の論文の §3–§4 は、この素朴な事実を格子の上の不等式として正確に述べ、ゲージ場と結合した場の理論を構成するための道具にしました。本章はその §3–§4 を、IHES のプレプリント版（P/78/237）と照合しながら読みます。
• Kato 型不等式（原論文 (3.7)、§1 の Theorem B (1)）：外部ゲージ場 $g$ の中の共変差分 Laplacian $\Delta_g$ の伝播関数は、すべての $x,y$ で作用素ノルムの意味で $\lVert(-\Delta_g+m_0^2)^{-1}(x,y)\rVert\le(-\Delta+m_0^2)^{-1}(x,y)$ を満たします。証明は Neumann 級数を格子上の経路の和に書き、経路ごとにユニタリ行列の積のノルムが $1$ であることを使うだけです。熱核 $e^{t\Delta_g}$（(3.9)）、Poisson 型の経路測度による Feynman–Kac 表示（(3.10)）、$(-\Delta_g+m_0^2)^{-\alpha}$ 型の伝播関数（(3.13)–(3.15)）も同じ方法で扱えます。
• Schrader–Seiler の反磁性不等式（(3.17)、(3.19)）：自由スカラー場の分配関数は $Z(g)\le Z(1)$ を満たし、しかも $\log(Z(g)/Z(1))$ は「閉じた経路の指標の実部 $-$ 次元」の正係数和という明示的な形をもちます。
• 強い反磁性不等式（Theorem 4.1、§1 の Theorem B (2)）：ゲージ群が $U(1)$ のとき、複素スカラー場の非正規化 Schwinger 関数 $Z(A)$ は外部ベクトルポテンシャル $A$ の正型関数（正定値関数）になり、とくに $\lvert Z(A)\rvert\le Z(0)$ です。証明は角度変数の Fourier 展開（双対変換）と変形 Bessel 関数 $I_n\ge0$ です。
• 単調性と赤外評価（Corollary 4.2、Theorem 4.3）：正型性から、ゲージ場の Gauss 測度で平均した量が共分散・電荷 $\lvert e\rvert$ について減少し、光子の質量について増加すること（Wilson・Polyakov–Villain の作用では結合定数 $\lvert g_0\rvert$ について減少すること）、ゲージ不変な $B(h)=\sum_Pa^\nu h_PB_P$ の指数モーメントがゲージにも結合定数にもよらない上界 $e^{\lVert h\rVert^2/2}$ をもつことが出ます。
• 原論文から直した点：(i) (3.7) の 2 次形式の不等式は、作用素ノルムの形に強めて証明します（$\alpha>1$ への拡張にはこの形が要ります）。(ii) (3.12) の積分表示は $0<\alpha<1$ でだけ成り立ちます。(iii) (3.18) は「(3.13) を満たす任意の伝播関数」については偽で、反例を示し、正しい範囲で証明します。(iv) Theorem 4.3 への道筋 (4.24)–(4.26) は $h$ が回転（curl）の像にあるときにしか働かないので、Bochner の定理による別証明ですべての $h$ について示し、評価も Gauss 分散の形に精密化します。

1. 動機

格子ゲージ理論では、物質場（スカラー場や Dirac 場）がリンク変数 $g_{xy}$ を通じてゲージ場と結合します。ゲージ場を積分する前に、まずゲージ場を外から与えた固定の配位として扱い、その中で物質場の量がゲージ場にどう依存するかを調べるのが自然な第一歩です。反磁性不等式とは、その依存の向きについての主張で、「物質場をゲージ場に最小結合すると、分配関数は小さくなる（真空エネルギー密度は上がる）」という形をとります。量子力学では Kato の不等式 $\lvert e^{-tH(A)}\psi\rvert\le e^{-tH(0)}\lvert\psi\rvert$ として知られ、連続体では Hess–Schrader–Uhlenbrock、Simon らが別の方法で証明していました。

本論文の第 1 部の Theorem 2.3（本テーマの 第 1 部 の 定理 5.6［Brydges–Fröhlich–Seiler (1979) 第 1 部］）は、Dirac 場を含む一般の格子理論で $\lvert Z_\Lambda(g)\rvert\le Z_\Lambda(1)$ を、反射正値性とチェッカーボード型の議論で示しました。そこでは辺が偶数のトーラスで、Higgs 場とゲージ場は周期境界、Fermi 場は反周期境界という条件が必要でした（原論文は Fermi 場も周期境界と書いていますが、周期境界では主張が偽であることを第 1 部の 例 5.7［Brydges–Fröhlich–Seiler (1979) 第 1 部］ で示しています）。§3 はそれと独立に、自由スカラー場に限れば、経路展開という初等的な方法で、任意の境界条件・任意の格子で、しかも伝播関数の各成分について同じ向きの不等式が成り立つことを示します。§4 は $U(1)$ の場合に、スカラー場の任意のゲージ不変な自己相互作用を許して、分配関数が外場 $A$ の正型関数になるという、はるかに強い結論を出します。

これらの不等式が重要なのは、格子間隔 $a$ によらない評価だからです。2 次元のアーベル Higgs 模型の連続極限を構成する続編（論文 II）では、紫外切断を外す過程で一様に成り立つ評価が必要で、§3–§4 の不等式がその役を担います。QED のような理論の自明性を論じるときにも、電荷 $\lvert e\rvert$ や光子質量についての単調性（Corollary 4.2）は、くりこまれた量を比較する出発点になります。一方で §3.3 の末尾で著者らが注意するように、フェルミオンの伝播関数は同じ形の各点不等式を満たしえません。スカラー場とフェルミオン場の違いは、分配関数の比較（第 1 部）と伝播関数の比較（本章）を分けて考える理由になっています。

本章の主張と原論文（プレプリント版）の対応は次のとおりです。出版版（Ann. Phys. 121）は照合していないので、番号はプレプリントのものです。

原論文	本章
(3.1)–(3.5)	定義 2.1、補題 3.1
(3.6)、(3.7)（Theorem B (1)）	補題 3.2、定理 3.3
(3.5) 直後の $m_0=0$ の注意	補題 3.4
(3.8)、(3.9) と §3.1 末尾の積分の注意	命題 4.1
(3.6’)、(3.10)	命題 4.2
(3.10’) と連続極限の注意	注意 4.3
(3.11)–(3.15)	補題 5.1、命題 5.2
(3.16)、(3.17)、(3.19)	定理 6.4、補題 6.3
(3.18)	系 6.5、注意 6.6
§3.3 の光子間の引力の注意	系 6.7
(4.1)–(4.12)	定義 7.1
(4.13)–(4.15)	補題 7.2、定義 7.3
(4.16)–(4.19)	補題 2.4、補題 8.1
Theorem 4.1（Theorem B (2)）	定理 8.2
Theorem 4.1 直後の Remark と (4.20)	命題 8.3、補題 2.5
Corollary 4.2	系 9.4
Corollary 4.2 の Remark（(W)・(P) の $\lvert g_0\rvert$ 単調性）	命題 9.5、命題 9.6、注意 9.7
(4.23)	補題 10.2
(4.24)–(4.27)	命題 10.6
Theorem 4.3	定理 10.5
(4.28)	系 10.8

注意 1.1（本章の範囲と原典）

原典は IHES プレプリント P/78/237（1978 年 6 月、93 頁）で、本章はその §3（プレプリントの 43–50 頁）と §4（51–64 頁）をプレプリント版と照合して読みます。§1 の Theorem C・D・E（質量生成、$\theta$ 真空、分数電荷の閉じ込め）は続編の論文 III で証明されるもので、本論文にも本章にも証明はありません。§4 の Remark の中で論文 II・III に委ねられている主張（連続極限での (3.9)、(4.29) の $e$ についての評価の詳細）は、本章では述べるだけにとどめ、どの証明にも使いません。(4.29) 自体は §6 で証明され、本テーマの 第 3 部 で扱います。

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