Brydges–Fröhlich–Seiler『On the construction of quantized gauge fields I』(1979) 第 3 部：ゲージ不変性と OS 正値性のゲージ非依存性、Ginibre 型相関不等式

0. この記事の要点

• 電磁場のような「ゲージ場」を含む理論では、計算の便宜のために「ゲージ」を選びます。選び方は無数にあり、物理的な答えはその選び方によらないはずです。D. Brydges、J. Fröhlich、E. Seiler の 1979 年の論文の §5 は、格子の上でこの「ゲージによらない」ことを、紫外切断を入れたままの正確な恒等式として証明しました。§6 は、電荷をもつスカラー場（Higgs 場）と電磁場の模型に、強磁性体の理論でおなじみの相関不等式を拡張しました。本章はこの §5–§6 を、IHES のプレプリント版（P/78/237）と照合しながら読みます。
• ゲージ不変性とゲージ固定（(5.1)–(5.15)、Theorem 5.1）：ゲージ場に紫外切断 $A_\kappa=h_\kappa*A$ を入れても、切断がゲージ変換と可換なので分配関数のゲージ不変性は保たれます。ゲージ場が Gauss 測度に従う模型では、共分散に「純ゲージの項」$e^{-2}\nabla F\nabla^{\mathsf T}$ を足しても（$F$ は不定符号でよい）、ゲージ不変量の期待値は変わりません。微分すると Ward 恒等式の総和版 (5.15) になります。
• OS 正値性のゲージ非依存性（Lemma 5.2、Theorem 5.3、Corollary 5.4）：反射面をまたぐ重みが正型関数であれば、Bochner の定理でそれを $\int Y_p\,\theta[Y_p]\,d\nu(p)$ の形に分解でき、Wilson・Polyakov–Villain・Gauss のどのゲージ場作用でも OS 正値性が出ます。紫外切断は反射面に垂直な方向に効かないこと（条件 (5.21)）が要ります。ゲージ不変量に限れば、OS 正値性はどのゲージでも成り立ちます。
• Ginibre 型の相関不等式（Theorem 6.1）：Gauss 型のゲージ場と結合したアーベル Higgs 模型で、$\langle P(r)\cos(n\cdot\theta+A(f));\,Q(r)\cos(m\cdot\theta+A(g))\rangle\ge0$ が成り立ちます。証明は Ginibre の複製変数の方法で、和差の変数 $(\rho,\lambda)$、$(\varepsilon,\delta)$、$(\alpha,\beta)$ に移ると被積分関数が「同じ関数の 2 乗の正係数和」になる、という一点に尽きます。
• 単調性（Theorem 6.2、Corollary 6.3、(6.26)）：同じ方法で $e^{\pm r^2(g)}$ と $\lvert A(h)\rvert^2$ や $r_xr_y\cos(\cdots)$ との切断相関の符号が決まり、そこから $\langle e^{r^2(g)}e^{iA(f)}\rangle$ がゲージ場の共分散について減少・体積について増加すること、とくに電荷 $e$ を入れると $\langle e^{r^2(g)}\rangle$ が下がることが出ます。
• 原論文から直した点：(i) (5.9) の共分散に因子 $e^{-2}$ を補います。(ii) Theorem 6.1 の証明 (6.19)–(6.21) の三角関数の展開を、「$(\varepsilon,\alpha)$ と $(\delta,\beta)$ の積分は同じ値になる」という観察に置き換えて簡潔にし、Theorem 6.2 (1)(2) も (6.24) の極限を経ずに直接示します。(iii) Corollary 6.3 の証明は文献 [35] に委ねられているので、共分散の微分公式を補題として立てて証明します。(iv) (5.26)–(5.28) は論文自身が予想や続編に委ねているので、定理にせず注意にまとめます。

1. 動機

格子ゲージ理論で場の量子論を構成するとき、計算の途中でゲージを選ぶことは避けられません。Gauss 型のゲージ場の作用 (G) はゲージ不変でない質量項 $m_A^2A^2$ を含みますし、連続極限の評価に都合のよい共分散（運動量空間で $(k^2+m_A^2)^{-1}$ に比例する Feynman ゲージ型）と、物理的に自然な共分散（ユニタリゲージ）は異なります。著者らの続編（論文 II）は 2 次元のアーベル Higgs 模型の連続極限を、冪の数え方のよいゲージで構成し、その結果をユニタリゲージのものと同一視します。その同一視を厳密に保証するのが本章の Theorem 5.1 です。

同じことは Osterwalder–Schrader（OS）正値性についてもいえます。OS 正値性は Euclid 場の理論から Hilbert 空間と正のハミルトニアンを再構成するための条件で（反射正値性 を参照）、格子ではゲージ場の作用ごとに確かめる必要があります。本論文の第 1 部の 定理 6.3［Brydges–Fröhlich–Seiler (1979) 第 1 部］ は Wilson 作用の場合を w パラメータ化で示しました。§5.2 はこれを Polyakov–Villain 作用と Gauss 作用に、しかも紫外切断を入れたまま広げ、さらにゲージ不変量に限ればどのゲージでも OS 正値性が成り立つことを示します。論文 II で連続極限の Green 関数の OS 正値性を示すときの基本の道具になります。

§6 の相関不等式は、熱力学的極限（体積を無限大にする極限）の存在と、外部パラメータについての単調性を与えます。強磁性 Ising 模型で Griffiths の第 2 不等式が体積についての単調性と極限の存在を与えるのと同じ役割です（相関不等式 の 命題 7.1［相関不等式］）。Higgs 場と電磁場の模型では、場が複素数値で、しかもゲージ場が Gauss 測度に従うので、Ginibre の一般形（定理 4.1［Gauss 型の相関不等式］）をそのまま当てはめることはできません。著者らは Ginibre の複製変数の方法を、角度変数・動径変数・Gauss 変数の 3 組に同時に施すことでこれを乗り越えました。得られる不等式 (6.26)「電荷を入れると $\langle e^{r^2(g)}\rangle$ は下がる」は、第 2 部で予告された評価 (4.29) にほかなりません。QED のような理論の自明性を論じるときに、電荷についての単調性は「くりこまれた量を比較する」議論の出発点になります。

本章の主張と原論文（プレプリント版）の対応は次のとおりです。出版版（Ann. Phys. 121）は照合していないので、番号はプレプリントのものです。

原論文	本章
(5.1)–(5.4)	定義 2.1、補題 3.1
(5.5)、(5.6) と直後の注意	命題 3.2、系 3.3
(5.7)–(5.10)	補題 3.4、命題 3.5
(5.11)–(5.14)、Theorem 5.1	定理 3.6
Remark (2)、(5.15)	補題 3.8、系 3.9
Remark (3)、(5.16)	例 3.7
(5.17)–(5.20)、Lemma 5.2	定義 4.1、補題 4.4
(5.21)–(5.24)、Theorem 5.3	補題 4.3、補題 4.5、定理 4.6
Corollary 5.4	系 4.8
Corollary 5.4 の Remark (1)	命題 4.9
§5.3、(5.25)–(5.28)	注意 5.1
(6.1)–(6.4)	定義 6.1
(6.5)、(6.12)–(6.18)	補題 6.2
(6.6)–(6.11)	補題 6.3、補題 6.4
Theorem 6.1、(6.19)–(6.23)	定理 6.5、系 6.6
Theorem 6.2、(6.24)–(6.25)	定理 7.1
Corollary 6.3、(6.26)	系 7.2

注意 1.1（本章の範囲と原典）

原典は IHES プレプリント P/78/237（1978 年 6 月、93 頁）で、本章はその §5（プレプリントの 65–76 頁）と §6（77–87 頁）を読みます。§5 も §6 も Fermi 場を含まないアーベル Higgs 模型（ゲージ群 $U(1)$、複素スカラー場 1 成分）が対象です。§5.3 の (5.26) は文献 [53]（「準備中」とされた Fröhlich の論文）に、(5.28) はクラスター展開と論文 III に委ねられ、(5.27) は予想として述べられています。本論文に証明がないので、本章でも定理にはせず 注意 5.1 にまとめ、どの証明にも使いません。

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