反射正値性と格子からの Hilbert 空間の再構成：転送行列の正値性を測度の性質として読む

0. この記事の要点

時間を逆向きにたどった「鏡像」の観測量と、元の観測量との相関が、つねに 0 以上になる。この記事では、その条件（反射正値性）だけから、量子力学の状態の空間とエネルギー（ハミルトニアン）を組み立てられることを見ます。作用の具体形が分からず、相関関数のデータしか手元にないときでも、それが量子論に対応するかを調べる足がかりになります。

• 格子の時間反射には、格子点を含む面でのサイト反射 $\theta_s:t\mapsto-t$ と、リンクを横切る面でのリンク反射 $\theta_l:t\mapsto1-t$ の 2 種類があります。測度 $\mu$ が反射正値であるとは、正の時刻の場にだけ依存する $F$ について $\langle\Theta F\cdot F\rangle_\mu\ge0$ が成り立つことです。
• 時間方向に最近接の結合 $-J\sum\Phi_{t+1}\cdot\Phi_t$ しかもたない格子スカラー場は、サイト反射正値性を $J$ の符号によらず、リンク反射正値性を $J\ge0$ のときに満たします。$J<0$（反強磁性的な時間結合）ではリンク反射正値性が破れます。
• リンク反射正値な測度からは、商と完備化によって物理的 Hilbert 空間 $\mathcal{H}$ が作られ、時間並進が $\|\hat T\|\le1$ の自己共役作用素 $\hat T$ を誘導します。サイト反射正値性も成り立てば $\hat T\ge0$ で、ハミルトニアン $H=-\log\hat T\ge0$ が定まります。これが Osterwalder–Schrader 再構成の格子版で、前章の転送行列 $T/\lambda_0$ がそのまま再現されます。
• 反射正値性からは、Cauchy–Schwarz 不等式、相関関数の対数凸性（有効質量は距離とともに単調に減少する。有効質量とは、相関関数が 1 ステップ離れるごとに減る割合の対数から読む、質量の見積もりです）、チェッカーボード評価が従います。
• 時間方向に次近接の項をもつ改良作用では、相関関数に負の重みの指数項（ゴースト。ノルムが負の状態に対応します）が現れ、反射正値性が壊れます。

この記事で使う事前知識

• 転送行列: 時間を 1 ステップ進める作用素で、相関関数を行列の冪の行列要素として書く道具。→ Euclid 経路積分と転送行列
• Hilbert 空間: 内積をもち、極限をとっても閉じている（完備な）ベクトル空間。→ Hilbert 空間
• ハミルトニアン: 系のエネルギーを表す量（量子論では作用素）で、時間発展を決めるもの。
• 商空間と完備化: 長さ 0 のベクトルを同一視して内積空間にし、さらに極限を付け加えて Hilbert 空間にする操作。
• Cauchy–Schwarz 不等式: 内積について $|\langle x,y\rangle|^2\le\langle x,x\rangle\langle y,y\rangle$ が成り立つこと。

1. 動機

前章 Euclid 経路積分と転送行列 では、作用が具体的に与えられた系で転送行列 $T$ を積分核として書き下し、$T$ が正であることを確かめました（命題 3.2［Euclid 経路積分と転送行列］）。しかし、ゲージ場やフェルミオンを含む格子理論、あるいはモンテカルロ法で得た「相関関数のデータ」から出発する場合、転送行列を直接書けるとは限りません。

そこで発想を逆にします。量子論の Hilbert 空間の内積の正値性は、Euclid 側では「時間反射した関数との相関が正である」という測度の条件として現れるはずです。この条件（反射正値性）だけを仮定して、Hilbert 空間とハミルトニアンを作り出すのが Osterwalder–Schrader の再構成です。連続理論での定式化は Euclid 場の理論と Osterwalder–Schrader 再構成 にあり、この章はその格子版です。格子では Euclid 不変性が離散的な並進と反射に縮むかわりに、すべてが有限次元の積分で証明できます。

反射正値性は道具としても強力です。統計力学では相転移の存在証明（赤外評価）に、格子 QCD の実務では「有効質量が上から近づく」ことの根拠に使われます。逆に、作用を改良して格子誤差を減らすと反射正値性が失われ得ることも、ここで具体的に見ます。

ここから先は有料（買い切り ¥200）の内容です。

この章は博士課程以上・研究水準の内容です。続き（定義・定理・証明・例・演習）は ¥200 の買い切りで、他の有料章と 100 本ノックも含めてすべて読めます。無料の章は最後まで読めます。

購入する ログイン