格子 Higgs 模型と湯川模型：Fradkin–Shenker の相補性

物理学格子場の理論第10章博士・研究有料「本」の章約 20 分2026-10-03

対象読者: 本テーマ第 5〜9 章の格子ゲージ理論と Wilson 作用を学び、Higgs 機構の基礎と解析関数・級数展開の扱いに慣れている人。クラスター展開は導入から扱います。

前提となる記事:格子 QCD：連続極限・スケール設定・ハドロン質量・有限温度

0. この記事の要点

ゲージ理論で粒子に質量を与える Higgs 機構は、ふつう「真空で値をもつ場がゲージ対称性を壊す」と説明されます。ところが格子の上では、その値が必ず 0 になってしまい、「Higgs 相」と「閉じ込め相」を区別する目印が見つかりません。この記事では、両者が実は 1 つの相の両端にすぎない、という Fradkin–Shenker の結果を証明つきで読みます。後半では、湯川結合でフェルミオンを加えると何が困るのかを見ます。

格子ゲージ–Higgs 模型は、Wilson ゲージ作用に、リンク変数で平行移動した Higgs 場のホッピング項を足したものです。パラメータはゲージ結合 $\beta$ 、ホッピングパラメータ $\kappa$ 、4 次結合 $\lambda$ で、 $\lambda\to\infty$ では Higgs 場の長さが固定されます。
Higgs 場がゲージ群の元で表せる場合（ $\mathrm{SU}(2)$ の 2 重項で長さを固定したもの、 $\mathrm{U}(1)$ の電荷 1 など）は、ユニタリゲージ（ゲージ変換で Higgs 場を自明な値に固定する取り方）に移ると、模型は「プラケット項とリンク項をもつ純ゲージ理論」と厳密に同じになります。このとき Higgs 場の期待値は常に $0$ で、Wilson ループは閉じ込め的な領域でも周長則（ループの期待値が長さに応じて減る振る舞い。面積に応じて減るのが面積則）に従う（ $\beta=0$ では厳密に計算できる）ので、どちらも相を区別する秩序変数になりません。
Osterwalder–Seiler と Fradkin–Shenker の定理: そのような模型では、 $\beta$ が小さい領域と、 $\kappa/\beta$ が大きい領域の和集合の上で、自由エネルギーとゲージ不変な局所観測量が解析的です。この連結な領域は「閉じ込め的」な点と「Higgs 的」な点を両方含むので、両者は 1 つの相の 2 つの領域にすぎません（相補性）。本章ではクラスター展開による証明を書きます。
Higgs 場の電荷が 2 以上（離散的な中心が残る場合）では定理の仮定が外れ、閉じ込め相と Higgs 相は本当に別の相になります。
物理的な粒子は、ゲージ不変な合成演算子 $\Phi^\dagger\Phi$ や $\mathrm{tr}(\tau^aX^\dagger D_\mu X)$ の極として現れます。ユニタリゲージで展開すると、その主要項は素の Higgs 場と $W$ 場の伝播関数になります（Fröhlich–Morchio–Strocchi）。
湯川結合をもつ格子模型では、カイラル対称性と局所性を保つと Nielsen–Ninomiya の定理によって逆カイラリティ（左巻きと右巻きの向きが逆）の「ミラーフェルミオン」が現れます。湯川模型も φ⁴ 理論と同じく自明であると考えられ、フェルミオン質量と Higgs 質量に切断依存の上限・下限を与えます。

格子ゲージ作用: リンク変数 $U_\mu(x)$ のプラケット（最小の正方形）の積で作るゲージ場の作用。→ 格子 QCD
Wilson ループ: 閉じた経路に沿ってリンク変数を掛け、跡をとった量。面積則なら閉じ込め、周長則なら閉じ込めなし、の目安になる。→ Wilson ループ
Haar 測度: コンパクト群の上の、群の元を左から掛けても右から掛けても変わらない積分の測り方。本記事の変数変換で何度も使う。
自発的対称性の破れ: 作用は対称でも、真空（基底状態）が対称性を保たないこと。→ 自発的対称性の破れ
素朴な格子 Dirac 作用素: 連続の Dirac 作用素の微分を中心差分に置き換えたもの。16 個の「重複」粒子を生む。→ 素朴な格子 Dirac 作用素

1. 動機

連続理論の教科書では、Higgs 機構は「スカラー場が真空期待値 $\langle\Phi\rangle=v\ne0$ をもち、ゲージ対称性が自発的に破れる」と説明されます（ゲージ理論と自発的対称性の破れ）。しかし格子の上では、Elitzur の定理（定理 6.1［格子ゲージ場］）によって局所ゲージ対称性は自発的に破れず、 $\langle\Phi\rangle=0$ が常に成り立ちます。すると「Higgs 相」とは何か、それは閉じ込め相とどう違うのか、という問いが生じます。

Fradkin と Shenker（1979）は、この問いに驚くべき答えを出しました。Higgs 場がゲージ群の基本表現にある場合、閉じ込め領域と Higgs 領域の間には相転移の線が端点をもって途切れており、その脇を回り込めば、非解析性に出会わずに一方から他方へ移れるのです。気体と液体が臨界点を回り込んでつながるのと同じ構図です。この結果は Osterwalder と Seiler（1978）がクラスター展開で厳密に証明した解析性に基づいています。

この「相補性」は哲学的な注意にとどまりません。電弱理論の物理的な粒子（ $W$ , $Z$ , Higgs）はゲージ不変な合成状態としてどう記述されるのか、有限温度の電弱相転移は本当に相転移なのか、といった具体的な問いに直結しています。後半では、フェルミオンを湯川結合で加えた格子模型と、そこで現れるミラーフェルミオンの問題、Higgs 質量の上限と下限の考え方に触れます。