格子 QED の保存カレントと Ward–高橋恒等式：反射正値性からカレント相関のスペクトル表示へ

0. この記事の要点

電荷は流れても消えません。そして量子論では、真空そのものが一瞬だけ電子と陽電子の対を生み出し、電場の伝わり方を変えます（真空偏極）。この 2 つの事実、つまり「電荷の保存」と「量子論の確率が負にならないこと」は、電磁場の量子論（量子電磁力学、QED）の計算を縛るいちばん強い制約です。前者は光子が質量をもたないことを保証し、後者は電流どうしの相関を「正の重みをもつ減衰する指数関数の重ね合わせ」に限ります。

ところが、これらの性質は連続の時空の上の形式的な計算で導かれるのがふつうで、QED を数学的にきちんと定義したうえでの定理にはなっていません。4 次元の QED を厳密に構成すること自体が未解決で、その裏には、QED が「格子間隔を 0 にすると相互作用が消えてしまう（自明になる）のではないか」という 1950 年代からの問いがあります。そこで、時空を格子に置き換えて、測度が確率測度として意味をもつ有限の模型から出発し、どこまでを厳密に言えるかを確かめるのが自然な手順です。

この記事では、格子の上の電磁場と電子の模型（格子 QED）で、電荷の保存則を厳密な恒等式（Ward–高橋恒等式）として書き下し、量子論の正値性を格子の対称性（反射正値性）から引き出して、電流の相関が古典的なモーメント問題の解として表されることを示します。読み終えると、連続理論で「当然」とされる真空偏極の 2 つの性質が、格子のどの構造から来ているのかが分かり、格子数値計算で使われるカレント相関の解析の土台がどこにあるのかも見えるはずです。

• 非コンパクトな $\mathrm U(1)$ リンク変数と Wilson フェルミオンからなる格子 QED は、ゲージ方向を Hodge 分解で落とし、定数モード（トーロン）を 1 周期に制限すれば、裸の質量 $m_0\gt0$ のとき確率測度として定義できます。
• 点分割の保存カレント $J_\mu=\partial S_F/\partial\theta_\mu$ は、Grassmann 変数の局所的な位相回転だけから Ward–高橋恒等式 $\langle(\partial^*\!\cdot J)(x)\,\mathcal O\rangle=-\langle\delta_x\mathcal O\rangle$ を満たします。ゲージ場の測度には何も仮定しません。
• 真空偏極テンソル（カレントの 2 点関数に反磁性項を足したもの）は 横波 で、$\sum_\mu\hat p_\mu^*\tilde\Pi_{\mu\nu}(p)=0$ が格子の上で厳密に成り立ちます。
• $0\lt r\le1$ のとき、光子に小さな質量を与えて リンク反射正値性 を示し、質量を外す極限をとると、空間カレントの時間相関 $W(t)$ は奇数の $t$ で非負、Hankel 行列 $[W(s+s'-1)]$ は半正定値になります。
• 時間方向を無限に長くした極限で $W(t)=\int_{[-1,1]}\lambda^{t-1}\,d\nu(\lambda)$（$\nu\ge0$）と書けます。偶数距離の正値性が加われば $\nu$ は $[0,1]$ 上の測度（Stieltjes のモーメント問題）で、転送行列があれば $\nu$ はそのスペクトル測度です。
• 自由場で真空偏極と $W(t)$ を Fourier 変換で計算し、横波性とスペクトル測度の密度を数値で確かめます。$r\lt1$ では $\nu$ が負の $\lambda$ にも重みをもつことも数値で見ます。

1. 動機

1.1. 真空偏極とは何か

量子電磁力学（QED）でいちばん基本的な量のひとつは、光子の伝播が電子・陽電子の対の生成でどう変わるかを表す真空偏極 $\Pi_{\mu\nu}(p)$ です。連続理論では、電荷の保存則から導かれる Ward–高橋恒等式が $p_\mu\Pi_{\mu\nu}(p)=0$（横波性）を保証し、これが光子の質量が繰り込みで生じないことの理由になっています。また、量子論の状態空間が正のノルムをもつことから、$\Pi$ のスペクトル関数は非負で、カレントの相関は正の重みをもつ指数関数の重ね合わせ（Källén–Lehmann 表示）になります。

この $\Pi$ は実験で測れる量でもあります。真空偏極のために電荷の実効的な強さは測る距離によって変わり、微細構造定数 $\alpha=e^2/(4\pi)$ は、日常のエネルギーではおよそ $1/137$ ですが、Z ボソンの質量の尺度（約 $91$ GeV）ではおよそ $1/128$ まで大きくなります。近くで見るほど、電荷を覆う電子・陽電子の対の「雲」の内側に入り、遮蔽が弱まるからです。この電荷の走りを高エネルギーの側へ形式的に延ばすと、有限のエネルギーで電荷が発散してしまう（Landau 極）ことが 1950 年代に指摘され、QED を数学的に定義できるのかという問い（自明性の問題）につながりました。どちらの議論でも主役は $\Pi_{\mu\nu}$ で、その性質を厳密に押さえることが出発点になります。

1.2. 背景：保存則と正値性の歴史

真空偏極の 2 つの性質は、どちらも 1950 年代に連続理論の一般原理として確立されました。

• Ward–高橋恒等式. Ward（1950）は、電荷の保存から QED の頂点関数と電子の伝播関数の間の恒等式を導き、くりこみで電荷の補正が光子の側だけに現れること（$Z_1=Z_2$）を示しました。高橋（1957）はこれを運動量が $0$ でない一般の形に拡張しました。真空偏極の横波性 $p_\mu\Pi_{\mu\nu}=0$ はその帰結の 1 つです。
• Källén–Lehmann 表示. Källén（1952）と Lehmann（1954）は、場の 2 点関数を、状態空間の正値性だけから、正のスペクトル密度による自由伝播関数の重ね合わせとして表しました。これにより、くりこみ定数について $0\le Z_3\le1$ のような不等式が「摂動論によらずに」言えることになりました。
• ユークリッドの言葉への翻訳. Osterwalder と Schrader（1973、1975）は、ユークリッド（虚時間）の相関関数が 反射正値性 を満たせば、そこから正のノルムをもつ量子論の状態空間とハミルトニアンが再構成できることを示しました。Källén–Lehmann 表示の正値性は、ユークリッドの側では反射正値性として現れます。
• 格子の上の厳密な構造. Wilson（1974）の格子ゲージ理論はゲージ対称性を厳密に保つ正則化で、Osterwalder–Seiler（1978）は Wilson フェルミオンを含む格子ゲージ理論の（リンク）反射正値性を、Lüscher（1977）は $r=1$ の Wilson フェルミオンの正の転送行列を構成しました。Karsten–Smit（1981）は Wilson フェルミオンの点分割カレントと Ward 恒等式を調べ、格子の上でも異常（アノマリー）が正しく再現されることを示しました。格子点を含む面での反射正値性は Menotti–Pelissetto（1987）が扱っています。

この記事に関わる結果の年表。上下の段は読みやすさのための配置で、意味の違いはない。1950 年代の連続理論の一般原理（Ward–高橋恒等式、Källén–Lehmann 表示）が、1970 年代以降に格子の上の厳密な構造（反射正値性、転送行列、保存カレント）として捉え直された。

この年表の左半分は「連続理論で形式的に言えること」、右半分は「格子の上で厳密に言えること」です。両者をつなぐ作業、つまり連続理論の性質を格子の上の定理として書き直す作業は、構成的場の理論（Glimm–Jaffe の教科書にまとまっている、場の量子論を数学的に構成する研究の流れ）の基本的な手順の 1 つです。

1.3. 格子の上の問い

格子の上ではどうでしょうか。格子は連続の並進対称性も Lorentz 対称性も壊しますが、ゲージ対称性は厳密に残せます。そこで次の 2 つの問いが立ちます。

1. 格子のどのカレントが保存され、どの恒等式が厳密に成り立つのか。Wilson フェルミオンでは、隣の格子点にまたがる「点分割」のカレントを使う必要があります。
2. Källén–Lehmann 表示の正値性は、格子のどの性質から出るのか。答えは反射正値性で、そこから Hankel 行列の半正定値性を経て、古典的なモーメント問題に帰着します。

ゲージ場には非コンパクトな $\mathrm U(1)$ を使います。コンパクト U(1) には磁気単極子による相構造があるのに対し、非コンパクト版の純ゲージ部分は自由な光子で、連続の QED に近い模型です。代わりに、ゲージ軌道が非コンパクトなので分配関数がそのままでは発散し（命題 7.2［格子ゲージ場］）、反射正値性の標準的な証明（Osterwalder–Seiler の方法、定理 3.4［Wilson・staggered フェルミオンの転送行列］）が使っている Haar 測度の不変性も使えません。この記事では、反射面をまたぐリンクを Gauss 積分で先に積分することでこの点を乗り越えます。

1.4. なぜこの問題か：何が嬉しく、何に使えるか

このような構造の定理は、目立たないものの、いくつかの場面で直接に効きます。

• 格子数値計算の解析の土台. 格子 QCD では、ミュー粒子の異常磁気能率 $g-2$ へのハドロン真空偏極の寄与を、空間カレントの時間相関 $W(t)$ を時間について積分する「時間運動量表示」で計算します（Bernecker–Meyer 2011 などが整理しています）。大きな $t$ では統計誤差が大きくなるので、$W(t)$ の上下からの評価や、有効エネルギーの単調性が誤差の制御に使われます。これらはすべて、$W(t)$ が正の重みをもつ指数関数の重ね合わせであることに依っています。この記事は、その正値性が格子のどの性質から、どの範囲のパラメータで厳密に成り立つのかを、QED の場合に示します。
• スペクトルの再構成. 相関関数からスペクトル密度を取り出す問題は、数学的にはモーメント問題やその逆問題です。Hankel 行列の半正定値性は、相関の列が正の測度のモーメントとして表せるための必要十分条件（Hamburger の定理）にあたり、数値的な再構成が満たすべき制約を与えます。
• くりこまれた電荷の厳密な扱いへの一歩. 連続理論では、くりこまれた電荷は $\Pi$ の $p\to0$ の振る舞いで決まり、遮蔽の向き（電荷が裸の値より小さくなること）は $\Pi$ のスペクトル関数の正値性から来ます。格子の上でこの関係を厳密に扱おうとすれば、まず横波性とカレント相関の正値性が要ります。これは、φ⁴ 理論の自明性 と並ぶ QED₄ の自明性の問題を数学として扱うための、最初の準備にあたります。
• 道具の転用. 非コンパクトなゲージ場で反射正値性を示す方法（反射面をまたぐリンクを Gauss 積分で先に積分する）は、光子の作用が 2 次式であることに強く依っていて、フェルミオンの側の詳細はリンク反射正値性の形でしか使いません。そのため、同じ発想は可換なゲージ場に別の物質場を結合した模型にも向いた形をしています（この記事では QED の場合だけを扱います）。

1.5. この記事の位置づけ

この記事の内容は、どれも格子場の理論の標準的な主題です。Ward–高橋恒等式と点分割カレントは Karsten–Smit や Montvay–Münster の教科書に、リンク反射正値性は Osterwalder–Seiler にあります。この記事の役割は、それらを非コンパクトな $\mathrm U(1)$ と Wilson フェルミオンという 1 つの模型について、測度の定義（トーロンの扱い）から、恒等式、反射正値性、質量を外す極限、モーメント問題による表示まで、Rikai の中の定理だけで閉じた形でつなげることです。§6 の数値例は、定理の仮定（とくに $r=1$ かどうか）が結論にどう効くかを見るためのものです。

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