強結合展開と閉じ込め：Wilson ループの面積則・静的ポテンシャル・相構造

物理学格子場の理論第6章博士・研究有料「本」の章約 54 分2026-10-03

対象読者: 本テーマ第 5 章の Wilson 作用と Haar 測度を学び、群の表現論の初歩（既約表現・Schur の補題）を知っている人。閉じ込めの物理像は仮定しません。

前提となる記事:格子ゲージ場：Wilson 作用・Haar 測度・Elitzur の定理

0. この記事の要点

クォークを 1 個だけ取り出すことはできず、引き離そうとすると、ゴムひもを引くように距離に比例してエネルギーが必要になります。この記事は、結合が強い極端な場合に、その「ゴムひも」が計算で現れることを示します。ループ状の経路を考え、その中身を面で埋めるのに必要な小さな因子の数え上げだけで、ループの期待値が面積に応じて小さくなることが分かります。読み終えると、この数え上げの仕組みと、それが物理的に何を意味し、どこまで信用できるかを説明できるようになります。

強結合展開は、Wilson 作用の重み $e^{(\beta/N)\mathrm{Re}\,\mathrm{tr}\,U_p}$ を $\beta$ について展開し、各項を Haar 積分で評価する方法です。必要な道具は 2 つだけで、1 つは Schur の補題から出る $\int U_{ij}(U^*)_{kl}\,dU=\delta_{il}\delta_{jk}/N$ 、もう 1 つは中心 $\mathbb{Z}_N$ による選択則（各リンクの「 $N$ -ality」が $0$ でない項は消える）です。
選択則から、Wilson ループに寄与する項は、ループを境界に持つ 2 次元チェインになっていなければなりません。射影の議論でその面積の下限が分かり、 $R\times T$ の長方形ループについて、有限体積で厳密に $\langle W\rangle=\bigl(\beta/2N^2\bigr)^{RT}+O(\beta^{RT+1})$ が出ます（ $U(1)$ と $SU(N)$ 、 $N\ge3$ 。 $SU(2)$ では $(\beta/4)^{RT}$ ）。弦張力は最低次で $\sigma a^2=-\log(\beta/2N^2)$ です。
Osterwalder–Seiler によれば、強結合展開は $\beta$ が十分小さいとき無限体積で一様に収束し、面積則が成り立ちます。2 次元では、面積則はすべての $\beta$ で厳密に成り立ちます。
Wilson ループの転送行列表示から、静的クォーク間ポテンシャルが $V(R)=-\lim_T\frac{1}{aT}\log\langle W(R,T)\rangle$ で定まり、面積則は線形ポテンシャル $V(R)\ge\sigma aR-\mathrm{const}$ を意味します。グルーボールの質量は最低次で $am_G=-4\log u$ です。
中心対称性 $\mathbb{Z}_N$ は大域対称性なので、Elitzur の定理に縛られず自発的に破れることができます。Polyakov ループ $\langle P\rangle$ がその秩序変数（相を見分ける量）で、有限温度の非閉じ込め転移で $0$ から離れます。
強結合の面積則がそのまま連続理論の閉じ込めを意味するわけではありません。4 次元コンパクト $U(1)$ は強結合で閉じ込めますが、弱結合では Coulomb 相（Guth、Fröhlich–Spencer）で、間に相転移があります。 $SU(N)$ では強結合から連続極限まで相転移がないと信じられていますが、証明はありません。

Wilson 作用: 格子上の最小の正方形（プラケット）ごとにリンク変数の積のトレースを足し合わせて作るゲージ場の作用。→ Wilson 作用
Wilson ループ: 閉じた経路に沿ってリンク変数を掛け、トレースを取った量。→ Wilson ループ
Haar 測度: 群の上の、左右の掛け算で変わらない積分の測り方。コンパクト群ではこれで平均が取れます。→ 格子ゲージ場
Polyakov ループ: 時間方向に 1 周する経路に沿ったリンク変数の積のトレース。→ Polyakov ループ
Elitzur の定理: ゲージ対称性（場所ごとの対称性）は自発的に破れない、という定理。→ 格子ゲージ場
反射正値性: 転送行列（1 時間ステップ分の発展）が正の作用素として構成できる条件。→ 反射正値性

1. 動機

Wilson が格子ゲージ理論を導入した直接の目的は、クォークの閉じ込めを説明することでした。連続理論の摂動論は漸近的自由性のおかげで短距離では信頼できますが、長距離ではくりこまれた結合が大きくなり、摂動論は破綻します。そこで Wilson は逆の極限、すなわち結合が強い（ $\beta=2N/g^2$ が小さい）領域から出発しました。 $\beta=0$ ではリンク変数は互いに独立な Haar 分布に従い、ゲージ場は完全に無秩序です。この「無秩序」から摂動的にずらしていくのが強結合展開で、統計力学の高温展開そのものです。

驚くべきことに、この展開の最低次で既に閉じ込めの指標が現れます。Wilson ループは、ループが張る面を平面で埋め尽くさない限り $0$ になり、各プラケットが小さな因子 $\beta/2N^2$ を供給するので、期待値は面積の指数関数で減衰します。この記事では、その主張を有限体積で厳密に証明し、物理的な意味（静的ポテンシャル、グルーボール、有限温度）と限界（相構造、格子アーティファクト）を整理します。

記法は前章格子ゲージ場に従います。リンク変数 $U_\mu(x)$ 、プラケット $U_p$ （定義 3.2［格子ゲージ場］）、Wilson 作用 $S_{\mathrm{W}}=\beta\sum_p(1-\frac1N\mathrm{Re}\,\mathrm{tr}\,U_p)$ （定義 3.4［格子ゲージ場］）、Wilson ループ $W(\mathcal{C})=\frac1N\mathrm{tr}\,U(\mathcal{C})$ （定義 5.1［格子ゲージ場］）です。ゲージ群は $G=U(1)$ （ $N=1$ ）または $SU(N)$ （ $N\ge2$ ）とします。