格子 Dirac 作用素のスペクトル：Lichnerowicz 型公式・Wegner 評価・Vafa–Witten の定理

0. この記事の要点

クォークが格子の上を動く様子は、格子 Dirac 作用素という大きな行列で決まります。この記事では、その行列の固有値がどんな性質をもつかを調べます。固有値が正負の対になること、ゲージ場が滑らかなら固有値が 0 から離れていること、ランダムさを入れても 0 の近くに固有値が溜まりにくいことを順に示します。読み終えると、数値計算が不安定になる理由と、ある種の対称性が自発的に破れない理由を、固有値の言葉で説明できるようになります。

• 素朴な格子 Dirac 作用素と staggered 作用素は反エルミートで、$\gamma_5$ や $\varepsilon(x)=(-1)^{\sum n_\mu}$ と反可換なので、固有値は $\pm i\lambda$ の対で現れ、$m\gt0$ で $\det(D+m)\gt0$ です。Wilson 作用素は反エルミートではありませんが $\gamma_5$-エルミートで、$H_{\mathrm W}=\gamma_5(D_{\mathrm W}+m)$ がエルミートになります。
• 格子 Dirac 作用素の 2 乗は「共変 Laplacian + $\gamma_\mu\gamma_\nu\times$ 場の強さ」の形に書けます（Lichnerowicz 型公式）。場の強さの項はプラケット（格子の最小の正方形を 1 周するリンク変数の積）の $1$ からのずれ $\epsilon=\max\|1-U_{\mu\nu}\|$ で抑えられ、4 次元・$r=1$ では $H_{\mathrm W}^2\ge1-42\epsilon$（$m=-1$）が得られます。これは overlap 演算子が定義でき局所的であるための入口です。
• ランダムな対角項をもつ $N$ 次元のエルミート作用素 $H_0+\sum_jv_j|\varphi_j\rangle\langle\varphi_j|$ について、区間 $I$ の固有値の個数の期待値は $4\rho_{\max}|I|N$ 以下です（Wegner 評価）。証明は階数 1 の摂動に対するスペクトル平均だけで済みます。2 つ以上の固有値が入る確率を抑える Minami 評価は主張として述べます。
• 反エルミートな局所的 Dirac 作用素では、ゲージ場によらず $\|(D+m)^{-1}\|\le1/m$ で、伝播関数は一様に指数減衰します（Combes–Thomas 評価）。ここから、正の測度をもつベクトル的なゲージ理論ではアイソスピンのようなベクトル的対称性が自発的に破れないこと（Vafa–Witten）が、格子上で厳密に従います。
• Wilson フェルミオンではこの一様評価が成り立たず、$H_{\mathrm W}$ の零付近のスペクトル密度 $\rho_{H}(0)$ がパリティ・フレーバーを破る凝縮 $2\pi\rho_H(0)$ を与え得ます（Aoki 相）。

この記事で使う事前知識

• $\gamma_5$-エルミート性: $D^*=\gamma_5D\gamma_5$ が成り立つ、という Wilson 作用素の性質。→ 格子フェルミオン
• 素朴な格子 Dirac 作用素: 隣り合う格子点の差分に $\gamma_\mu$ を掛けて足した作用素で、反エルミートになる。→ 素朴な格子 Dirac 作用素
• プラケット: 格子の最小の正方形を 1 周するリンク変数の積で、場の強さの格子版。→ プラケット
• overlap 演算子: Wilson 作用素から作る、格子上でカイラル対称性（Ginsparg–Wilson 関係）を満たす作用素。→ overlap 演算子
• レゾルベント: 作用素 $A$ に対する $(A-z)^{-1}$。固有値 $z$ の近くで大きくなる。

1. 動機

格子 QCD の分配関数は $\int dU\,e^{-S_G}\det(D+m)^{N_f}$ で、物理はほとんどすべて格子 Dirac 作用素 $D$ のスペクトルに入っています。カイラル凝縮は零付近の固有値密度で決まり（Banks–Casher）、数値計算のコストは最小固有値で決まり、overlap 演算子が定義できるかどうかは $H_{\mathrm W}$ が $0$ の近くに固有値をもたないかどうかで決まります（Ginsparg–Wilson 関係と overlap）。

本章では、このスペクトルについて証明できる 3 種類の主張を扱います。1 つ目は代数的なもので、$\gamma_5$-エルミート性とカイラル対称性からスペクトルの対称性と行列式の正値性が出ます。2 つ目は幾何的なもので、連続理論の Lichnerowicz 公式（定理 5.5［Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素］ は曲がった空間でスカラー曲率の項 $\frac s4$ が現れる形で、平坦な空間でゲージ場により捩ると、その代わりに場の強さの項が現れて $D^2=\nabla^*\nabla+\frac12\sigma\cdot F$ となる）の格子版です。プラケットが $1$ に近い「滑らかな」ゲージ場では、Wilson 作用素は自由場とほぼ同じギャップをもちます。3 つ目は確率的なもので、ランダムな作用素の固有値密度を一様に抑える Wegner 評価と、物理的な帰結として Vafa–Witten の定理を証明します。後者は「ベクトル的なゲージ理論ではアイソスピンやバリオン数は自発的に破れない」という主張で、反エルミートな Dirac 作用素の一様なレゾルベント評価から従います。

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