Wilson・staggered フェルミオンの転送行列：反射正値性の証明と Lüscher の正の転送行列

0. この記事の要点

コンピュータ上の格子で素粒子の理論を計算するとき、時間を一コマずつ進める「1 ステップの規則」（転送行列）が正の数だけで書けていれば、計算結果を確率のように扱い、エネルギーの値として読むことができます。この記事は、電子やクォークのようなフェルミオンを格子に載せたとき、その規則が本当に使える形になっているかを確かめる話です。フェルミオンは通常の数では書けず、順序を入れ替えると符号が変わる特殊な変数で扱うため、符号を 1 つ間違えると結論が逆になります。そこで符号の取り方を決めてから、「使える」ための条件と、条件が崩れたときに何が起きるかを調べます。

• Grassmann 変数（順序を入れ替えると符号が変わる変数）の時間反射 $\Theta$ は反線形で積の順序を逆にする写像として定義します。生成元への作用に負号 $\Theta\psi=-\bar\psi\gamma_4$、$\Theta\bar\psi=-\gamma_4\psi$ を付けておくと、偶元・奇元を問わず $\langle\Theta(F)F\rangle\ge0$ という形で反射正値性が述べられます。負号を付けない規約では、奇元について不等号が逆向きになります。
• Wilson フェルミオンとゲージ場の格子理論は、$0\lt r\le1$、$\kappa\ge0$、$\beta\ge0$ で、リンク反射に関して反射正値です。証明の要は、反射面をまたぐ跳びの項が $\kappa\,\Theta(\psi)(1-r\gamma_4)\psi$ と $\kappa\,\Theta(\bar\psi)(1+r\gamma_4)^{\mathsf T}\bar\psi$ になり、$|r|\le1$ ではこの 2 つの行列が半正定値になることです。$r\gt1$ では小さい $\kappa$ で正値性が実際に破れます。
• $r=1$ では時間方向の跳びが射影 $P_\pm=(1\pm\gamma_4)/2$ になり、行列式 $\det(1-\kappa H)$ が外積代数上の自己共役で正の作用素 $\hat T_t$ の積のトレースに書けます（Lüscher, 1977）。正値性に要る条件は $0\lt\kappa\lt1/6$ で、これは空間方向の跳びの和のノルム $\le6$ から来ます。
• 粒子・反粒子の生成消滅作用素で書くと、$\hat T_t$ は「対消滅 × 粒子 1 個あたり $2\kappa$ の重み × 対生成」の積です。自由場では $\cosh E=1+(\sum_k\sin^2p_k+M^2)/(2(1+M))$ の 1 本の分散関係だけが現れます。
• $r\ne1$ では時間方向の doubler が現れ、$0\lt r\lt1$ では転送行列の負の固有値 $-e^{-E'}$ として見えます。staggered フェルミオンでは 1 段の転送作用素が自己共役でも正でなく、2 段の積 $\Gamma(\mathcal S)^2$ が正の転送行列になります。相関関数が $(-1)^t$ で振動する成分を含むのはこのためです。

この記事で使う事前知識

• 反射正値性: 時間の向きを反転させた像との内積が非負になる、という測度の性質。これがあると Hilbert 空間と転送行列が組み立てられます。→ 反射正値性
• Grassmann 代数: 生成元どうしが反可換（順序を入れ替えると符号が変わる）な代数。フェルミオン場の経路積分で使います。→ Grassmann 代数
• Berezin 積分: Grassmann 変数に対する積分で、各変数について 1 次の係数を取り出す操作。→ Berezin 積分
• staggered フェルミオン: 1 つの格子点に 1 成分の場を置き、doubler を減らす格子フェルミオン。→ staggered フェルミオン
• フェルミオン Fock 空間: 同種のフェルミオンを何個でも含む状態を集めた、反対称化した空間。→ フェルミオン Fock 空間

1. 動機

格子フェルミオン の章の最後で、Wilson フェルミオンを含む格子 QED が反射正値性を満たすと述べ、証明の筋道だけを示しました（定理 7.2［格子フェルミオン］）。スカラー場の反射正値性は 反射正値性と Hilbert 空間の再構成 で完全に証明しましたが、フェルミオンでは事情が違います。Grassmann 変数には正値性という概念がそもそもなく、「$\langle\Theta(F)F\rangle\ge0$」の左辺が非負になるかどうかは、$\Theta$ の符号の規約、積の並べ方、Berezin 測度の規約がすべてかみ合って初めて決まります。符号を 1 か所誤ると、奇元について不等号が逆になります。

もう 1 つの問題は Wilson パラメータ $r$ です。$r=1$ が特別なのは、時間方向の跳びの行列 $r\mp\gamma_4$ が射影の 2 倍になり、各時刻の自由度の半分だけが前向き、残り半分が後ろ向きに伝わるからです。Lüscher（1977）はこの構造を使って、自己共役で厳密に正の転送行列を書き下しました。$r\ne1$ では跳びの行列が可逆になり、時間方向にも doubler が残ります。Osterwalder–Seiler（1978）が原論文で扱ったのは、素朴なフェルミオン作用と、Wilson 項に $i\gamma_5$ を掛けた形の項を足した作用で、自由境界の格子の上で、格子点を通らない面に関する反射（リンク反射）の正値性を証明しました。通常の質量項を持つ Wilson 作用そのものは原論文にはありませんが、同じ証明が $|r|\le1$ の Wilson 項にも通ります（原論文の精読 の 系 6.14［Osterwalder–Seiler (1978) 第 1 部］）。格子点を通る面に関する反射（サイト反射）の正値性は、のちに Menotti–Pelissetto（1987）が、Osterwalder–Seiler の証明を格子点を含む面へ拡張する形で、Wilson 作用について示しました（その証明は本章では扱いません）。staggered フェルミオンでは、1 時間ステップの転送作用素は正にならず、2 ステップを 1 組にする必要があります（Sharatchandra–Thun–Weisz, 1981）。

本章では、これらを 1 つの枠組みで証明します。道具は Berezin 積分（定理 2.4［格子フェルミオン］）、外積代数上の作用素 $\Gamma(X)$、ブロック巡回行列の行列式の 3 つだけです。

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