Osterwalder–Seiler (1978) 第 1 部：フェルミオンを含む格子ゲージ理論の物理的正値性と転送行列

0. この記事の要点

格子の上に置いた「力の場」と「物質の場」の理論が、量子力学として意味のある理論、すなわち確率が負にならない状態空間と、下に有界なエネルギーを持つ理論になっているかを確かめる話です。Osterwalder と Seiler は 1978 年の論文で、色の力（非可換ゲージ場）とクォークのようなフェルミオンを一緒に格子に載せても、この条件が厳密に成り立つことを示しました。本章はその論文の §2 を、省かれた計算を埋めながら読みます。

• 時間反射 $\Theta$ に関する物理的正値性（反射正値性）$\langle\Theta(F)F\rangle\ge0$ を、一般のコンパクト群・一般のユニタリ表現・フェルミオンを含めて証明します（原論文の Theorem 2.1）。反射面は格子点を含まない面（リンク反射）です。
• 証明は 3 つの補題でできています。自由な積分での正値性（Lemma 2.2）、$\Theta(A)A$ の和からなる錐が積で閉じること（Lemma 2.3）、作用の指数がその錐に入ること（Lemma 2.4）。原論文の Lemma 2.3 の証明には斉次性の扱いに小さな隙間があり、本章では「偶奇の定まった元から生成した錐」に直して証明します。
• フェルミオン作用の跳びの行列について、反射正値性を保つ条件を $\gamma_0K_0^+\ge0$、$-K_0^-\gamma_0\ge0$ などの行列の不等式として取り出します。素朴なフェルミオン、$|r|\le1$ の Wilson フェルミオン、原論文の (2.18) の $i\gamma_5$ 型の Wilson 項がすべてこの条件を満たします。(2.18) は、のちの「最大にねじった twisted mass」と同値な作用です。
• 時間方向のゲージ場を 1 に固定する放射ゲージ (2.5) と、Faddeev–Popov 型の δ 関数の恒等式 (2.7) を、変数変換と Schur の直交関係で厳密に示します。
• 反射正値な汎関数から Hilbert 空間を作り、時間を 2 段進める作用素が $0\le T\le1$ の自己共役作用素になることを示して、$T=e^{-2H}$、$H\ge0$ を得ます。1 段ではなく 2 段にするのは、1 段の正値性には格子点を含む面での反射（サイト反射）が必要で、それをこの方法では示せないからです。
• 原論文の注意 (3) の式 (2.19) を計算し直すと、分子の $i\gamma_5$ の項の符号が (2.18) と合いません。分母と「doubler が現れない」という結論は正しいことを証明します。

1. 動機

量子論の理論を数学的に構成するとき、Euclid 空間（虚時間）の相関関数から出発するのが便利です。Osterwalder–Schrader の定理によれば、Euclid 相関関数がいくつかの公理を満たせば、そこから相対論的な量子場の理論が一意に復元されます。公理のうち、物理的に最も重要なのが物理的正値性（反射正値性）です。これは「状態空間の内積が正定値になる」ことを保証する条件で、これが壊れると負の確率を持つ状態（ゴースト）が現れます。

ゲージ理論の連続体での扱いでは、ゲージ固定のために Faddeev–Popov のゴースト場を入れ、正定値でない計量の空間で計算するのが普通でした。Osterwalder と Seiler の出発点は、Wilson と Polyakov の格子近似がゲージ不変性と正値性を両方とも保つよい切断であることに注目し、それを厳密に示すことでした。格子間隔を固定した理論で正値性が成り立てば、連続極限をとっても（極限が存在すれば）正値性は保たれます。

論文 K. Osterwalder, E. Seiler, “Gauge field theories on a lattice”, Annals of Physics 110 (1978) 440–471 の構成は次のとおりです。

節	内容	本記事での扱い
§2.1	格子 Yang–Mills 場、ゲージ固定、放射ゲージ、ゲージ平均 (2.1)–(2.11)	第 1 部（本章 §3・§5）
§2.2	格子上の Euclid Fermi 場（番号なしの Berezin 積分の定義と (2.13)–(2.16)）	第 1 部（本章 §4）
§2.3	物理的正値性（Theorem 2.1、Lemma 2.2–2.4）、Hilbert 空間、転送行列、注意 (1)–(3) と (2.17)–(2.19)	第 1 部（本章 §6–§8）
§3–§6	強結合の展開による無限体積極限・解析性・質量ギャップ、Higgs 機構、Wilson の閉じ込めの評価、連続極限についての議論	第 2 部

注意 1.1（原論文の主張と本章の環境の対応）

本章の環境と原論文の番号の対応を挙げます。「補足」と書いたものは、原論文に主張としては無く、本章が足したものです。

原論文	本章
(2.1)–(2.4)、局所ゲージ変換と期待値の不変性	定義 3.1、命題 4.3
「閉路を作らない限り何本でもリンクを $e$ に固定できる」（§2.1）	定理 4.8［格子ゲージ場］（既出）を使った 命題 5.2
(2.6)–(2.7)（Faddeev–Popov の δ 関数）	命題 5.1
(2.8)（放射ゲージ）	命題 5.2
(2.9)–(2.11)（ゲージ平均）	命題 5.3
§2.2 の Berezin 積分の定義（番号なし）、(2.13)–(2.15)、(2.16) と「演習として残す」Berezin 積分の不変性	定義 4.2、補題 4.1、命題 4.3
§2.3 の $\Theta$ の定義	定義 6.1、補題 6.2
Lemma 2.2	補題 6.4（Haar 積分の因数分解は 補題 6.3）
Lemma 2.3	補題 6.6（錐の定義を修正。注意 6.7）
Lemma 2.4	補題 6.12（跳びの行列の条件は補足 定義 6.8、補題 6.9）
Theorem 2.1	定理 6.13
(2.18) とその正値性	系 6.14
§2.3 の Hilbert 空間 $\mathscr H_\Lambda$ と部分空間 $\mathscr H_{\Lambda,i}$	補題 7.1、命題 7.3（Gauss の法則との同一視は補足）
§2.3 の転送行列（$T_{\mathscr H}$ は正の自己共役で $\Vert T\Vert\le1$）	定理 7.5
注意 (1)、(2.17)	命題 8.1
注意 (2)（格子点を $x^0=0$ に置かない理由）	注意 8.2
注意 (3)、(2.19)	命題 8.3（符号の訂正は 注意 8.4）
サイト反射への拡張（Menotti–Pelissetto 1987、補足）	注意 6.17

この論文のあとの流れを少しだけ述べます。同じ 1977 年に Lüscher は、Wilson フェルミオン（$r=1$）について転送行列を直接構成し、それが厳密に正であることを示しました。Osterwalder–Seiler は逆向きに、反射正値性から転送行列を「作り出し」ます。この向きは、ゲージを固定せずに任意のゲージ不変量に適用でき、のちの Brydges–Fröhlich–Seiler の連続極限への計画（1979 年以降）でも、そのまま正値性の出どころとして引用されました。反射面が格子点を含む場合（サイト反射）への拡張は Menotti–Pelissetto（1987）によります。

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