Gawędzki–Kupiainen『Massless lattice φ⁴₄ theory』(1985) 第 1 部：ブロックスピンの枠組みと摂動論的な赤外漸近自由性

0. この記事の要点

• 4 次元の格子上で、場の値どうしが弱く 4 次の相互作用をする模型を、相関距離が無限大になる「臨界点」に合わせて考えます。遠くから眺めるほど相互作用が弱く見える（赤外漸近自由）ことを、近似なしに証明したのが K. Gawędzki と A. Kupiainen の 1985 年の論文です。本章はその第 1 部として、論文の §1–§3 と Appendix 1 を読みます。
• 道具はブロックスピン変換（格子を辺 $L$ の立方体に分け、立方体ごとの平均を新しい場とする操作）です。自由場（Gauss 場）を、スケールごとに独立な成分の和 $G_0=L^{-2n}\mathcal G_n+\sum_{k\lt n}L^{-2k}\mathcal T_k$ に分解し（論文 (2.16)）、各成分の核がスケールによらず一様に指数減衰することを示します（(2.42)–(2.46)）。論文はこれらを先行論文から証明なしに引用していますが、本章では条件付き Gauss 分布の線形代数と、帯の上の解析関数の Fourier 係数の減衰で、すべて証明します。
• 1 段のブロックスピン変換を揺らぎ場 $Z$ の積分で書く漸化式（(2.39)）と、自由エネルギーの段ごとの寄与（(2.41)）を導きます。
• 相互作用のアンザッツ（(3.1)）に 2 次の摂動計算を施し、4 次の結合定数が $\lambda'=\lambda+\delta\lambda^1$、$\delta\lambda^1=-\alpha\lambda^2$ と変わることを示します。$\alpha$ を決めるのは 1 個の泡図形で、$L=L_0^m$ のとき $\alpha\asymp m\asymp\log L$ の上下界をもちます（Appendix 1）。この符号が赤外での結合定数の減少 $\lambda_n=O(1/n)$ を生みます。
• 原論文から直した点が 3 つあります。ブロックの置き方（論文の (2.6) と (2.7) は $n\ge2$ で食い違うので、角を基準にした立方体に統一）、$Q$ の定義の符号、そして有限体積での泡図形の下界（論文の議論は最後の段 $N=n+1$ では和が空になって成り立たないので、$G_n$ の固有値を使う別の議論で、すべての段で一様に証明する）です。

1. 動機

磁石の模型のように、たくさんの小さな変数が近所どうしで影響し合う系では、パラメータをちょうど臨界点に合わせると、ゆらぎの相関があらゆる距離に広がります。このとき「遠くから見た振る舞い」を計算するのは、無限個の変数が強く絡み合った問題になります。くりこみ群は、この問題を「少しだけ粗く見る」操作の繰り返しに分解する方法です。1 回の操作では、立方体の中のゆらぎ（相関距離が有限の、扱いやすい部分）だけを積分すればよくなります。

場の理論の言葉で言い直します。$\mathbb Z^4$ 上の実スカラー場 $\phi$ に、Hamiltonian

$$\mathcal H(\phi)=\tfrac12\sum_{\langle xy\rangle}(\phi_x-\phi_y)^2+\tfrac12m_0^2\sum_x\phi_x^2-6\lambda_0\sum_xG_{0xx}\phi_x^2+\lambda_0\sum_x\phi_x^4$$

を与えた模型（格子 $\phi^4_4$ 模型）を考えます。4 次元では 4 次の結合定数 $\lambda$ は次元をもたず、ガウス固定点 のまわりで 限界的（ブロックスピン変換の線形化で大きさが変わらない）です。そのため $\lambda$ が長距離で消えるかどうかは 2 次の項で決まり、摂動論の予言は

$$\lambda_{n+1}=\lambda_n-\alpha\lambda_n^2+\cdots,\qquad \alpha\gt 0\quad\Longrightarrow\quad \lambda_n\approx\frac{1}{\alpha n}$$

です（$n$ はブロック化の回数、距離のスケールは $L^n$）。これが赤外漸近自由性で、臨界点の長距離の振る舞いは Gauss 的になり、そのうえに $\log$ の冪の補正が乗ります。既出の 命題 6.2［厳密くりこみ群］ はこの漸化式の初等的な帰結です。

問題は、この摂動計算が正しいことの保証です。初期の結合定数 $\lambda_0$ で摂動展開すると、2 次の係数がすでに $\log$ で発散するので展開は自己無撞着ではありません。Gawędzki と Kupiainen は、各スケールでそのスケールの有効結合定数 $\lambda_n$ について 2 次まで展開し、残りを非摂動的に評価するという方針をとりました。小さな場の領域では、有効相互作用が場の変数について帯 $|\mathrm{Im}\,\psi|\lesssim\lambda^{-1/4}$ で解析的であることを使って Cauchy 評価で剰余を抑え、大きな場の領域では Gauss 測度の裾の小ささ $e^{-\varepsilon\lambda^{-1/2}}$ を使います。空間の異なる領域の結び付きは、相関距離 $O(L)$ の高温展開（クラスター展開）で制御します。こうして、臨界点での有効相互作用が $n\to\infty$ で $0$ に収束すること、すなわち弱結合の臨界格子 $\phi^4_4$ 模型の赤外漸近自由性が厳密に示されました。

この論文の位置づけを 3 点にまとめます。

1. くりこみ可能な模型の最初の厳密な制御。 それまでの構成的場の理論は、2・3 次元の超くりこみ可能な模型（結合定数が正の次元をもち、高次ほど寄与が小さくなる模型）に限られていました。著者らの先行論文 [GK80]（質量ゼロの Gauss 場のブロックスピン解析）と [GK83]（双極子気体と $(\nabla\phi)^4$、超くりこみ可能な場合の帰納法）の上に、本論文は限界的な結合定数を扱う技術を加えました。ほぼ同時期に Feldman–Magnen–Rivasseau–Sénéor が位相空間展開で同じ模型を扱い、のちに Hara・Hara–Tasaki、Bauerschmidt–Brydges–Slade が臨界点の相関関数と対数補正を制御しました。
2. 紫外問題との対応。 4 次元の $\phi^4$ は紫外側では漸近自由ではなく、連続極限は自明（Gauss 的）になります（5 次元以上は Aizenman と Fröhlich、4 次元は Aizenman と Duminil-Copin が 2021 年に 示しました）。一方、非可換ゲージ理論は紫外漸近自由です。本論文の「各段で有効結合について 2 次まで展開し、小場・大場に分けて剰余を抑える」方式は、Bałaban の格子ゲージ理論のくりこみ群と同じ型で、紫外漸近自由な模型の構成への足がかりと位置づけられています。QED₄ も $\phi^4_4$ と同じく、有効結合定数が長距離で（対数的に）減り短距離で増える型の模型です。したがって本論文の赤外側の制御は QED₄ の長距離の振る舞いと同じ型の問題であり、逆に短距離側（連続極限）は本論文の議論が使えない側にあたります。
3. 技術の原型。 揺らぎ場の大きさによる単位の分割、場の変数についての解析性、大場の安定性評価、質量と波動関数くりこみの局所化は、後の多スケール解析の標準部品になりました。

本章（第 1 部）は、論文の §2（ブロックスピンの枠組み）、§3（摂動論）と Appendix 1（泡図形の評価）を扱います。有効相互作用の一般形とクラスター展開は 第 2 部、帰納的評価と新しい結合定数の抽出は 第 3 部、大場の評価・質量くりこみ・熱力学極限は 第 4 部 です。原論文の式と本章の環境の対応は次のとおりです。

原論文	本章
(2.1)–(2.11)	定義 2.2、定義 2.3
(2.12)–(2.15)	命題 3.1
(2.16)–(2.22)	補題 3.2、定理 3.3
(2.23)–(2.28)、(2.26)	命題 3.4、補題 3.5
(2.29)–(2.41)、(2.35)	定理 3.7、補題 3.6
(2.42)–(2.46)	定理 4.7（補題 4.2、補題 4.4、補題 4.5）
(3.1)–(3.3)	定義 6.1、命題 6.3
(3.4)–(3.5)	補題 6.4
(3.6)–(3.7)、Appendix 1	定理 7.9（補題 7.2、補題 7.5、補題 7.8、補題 7.6）
(3.8)–(3.12)	命題 6.5
(3.13)–(3.14)	定理 8.1、補題 8.2

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