# Gawędzki–Kupiainen『Massless lattice φ⁴₄ theory』(1985) 第 1 部：ブロックスピンの枠組みと摂動論的な赤外漸近自由性
> 臨界格子 φ⁴₄ の厳密な制御の土台として、Gauss 場のスケール分解と核の一様指数減衰を Fourier 解析で証明し、1 段の 2 次摂動から結合定数の漸化式 λ' = λ − αλ²（α ≍ log L）を導く。
> https://rikai.mugen-giken.com/physics/constructive-papers/gawedzki-kupiainen-1985-part-1
## 0. この記事の要点
- 4 次元の格子上で、場の値どうしが弱く 4 次の相互作用をする模型を、相関距離が無限大になる「臨界点」に合わせて考えます。遠くから眺めるほど相互作用が弱く見える（**赤外漸近自由**）ことを、近似なしに証明したのが K. Gawędzki と A. Kupiainen の 1985 年の論文です。本章はその第 1 部として、論文の §1–§3 と Appendix 1 を読みます。
- 道具は**ブロックスピン変換**（格子を辺 $L$ の立方体に分け、立方体ごとの平均を新しい場とする操作）です。自由場（Gauss 場）を、スケールごとに独立な成分の和 $G_0=L^{-2n}\mathcal G_n+\sum_{k\lt n}L^{-2k}\mathcal T_k$ に分解し（論文 (2.16)）、各成分の核が**スケールによらず一様に**指数減衰することを示します（(2.42)–(2.46)）。論文はこれらを先行論文から証明なしに引用していますが、本章では条件付き Gauss 分布の線形代数と、帯の上の解析関数の Fourier 係数の減衰で、すべて証明します。
- 1 段のブロックスピン変換を揺らぎ場 $Z$ の積分で書く漸化式（(2.39)）と、自由エネルギーの段ごとの寄与（(2.41)）を導きます。
- 相互作用のアンザッツ（(3.1)）に 2 次の摂動計算を施し、4 次の結合定数が $\lambda'=\lambda+\delta\lambda^1$、$\delta\lambda^1=-\alpha\lambda^2$ と変わることを示します。$\alpha$ を決めるのは 1 個の**泡図形**で、$L=L_0^m$ のとき $\alpha\asymp m\asymp\log L$ の上下界をもちます（Appendix 1）。この符号が赤外での結合定数の減少 $\lambda_n=O(1/n)$ を生みます。
- 原論文から直した点が 3 つあります。ブロックの置き方（論文の (2.6) と (2.7) は $n\ge2$ で食い違うので、角を基準にした立方体に統一）、$Q$ の定義の符号、そして有限体積での泡図形の下界（論文の議論は最後の段 $N=n+1$ では和が空になって成り立たないので、$G_n$ の固有値を使う別の議論で、すべての段で一様に証明する）です。
## 1. 動機
磁石の模型のように、たくさんの小さな変数が近所どうしで影響し合う系では、パラメータをちょうど臨界点に合わせると、ゆらぎの相関があらゆる距離に広がります。このとき「遠くから見た振る舞い」を計算するのは、無限個の変数が強く絡み合った問題になります。くりこみ群は、この問題を「少しだけ粗く見る」操作の繰り返しに分解する方法です。1 回の操作では、立方体の中のゆらぎ（相関距離が有限の、扱いやすい部分）だけを積分すればよくなります。
場の理論の言葉で言い直します。$\mathbb Z^4$ 上の実スカラー場 $\phi$ に、Hamiltonian
$$
\mathcal H(\phi)=\tfrac12\sum_{\langle xy\rangle}(\phi_x-\phi_y)^2+\tfrac12m_0^2\sum_x\phi_x^2-6\lambda_0\sum_xG_{0xx}\phi_x^2+\lambda_0\sum_x\phi_x^4
$$
を与えた模型（**格子 $\phi^4_4$ 模型**）を考えます。4 次元では 4 次の結合定数 $\lambda$ は次元をもたず、[ガウス固定点](/physics/constructive-qft/rigorous-renormalization-group#thm-gaussian-fixed-point) のまわりで [限界的](/physics/constructive-qft/rigorous-renormalization-group#def-relevance)（ブロックスピン変換の線形化で大きさが変わらない）です。そのため $\lambda$ が長距離で消えるかどうかは 2 次の項で決まり、摂動論の予言は
$$
\lambda_{n+1}=\lambda_n-\alpha\lambda_n^2+\cdots,\qquad \alpha\gt 0\quad\Longrightarrow\quad \lambda_n\approx\frac{1}{\alpha n}
$$
です（$n$ はブロック化の回数、距離のスケールは $L^n$）。これが**赤外漸近自由性**で、臨界点の長距離の振る舞いは Gauss 的になり、そのうえに $\log$ の冪の補正が乗ります。既出の