Kotecký–Preiss『Cluster expansion for abstract polymer models』(1986)：ポリマーを重複させないクラスター展開と連続性の方法

0. この記事の要点

たくさんの小さな部品が「重ならないように」並ぶ配置の総数（重みつきの和）を考えます。部品が小さくまばらなら、この総和の対数は、近くの部品どうしの絡み合いの寄与を足し合わせたものとして、系の大きさによらない精度で書けるはずです。1986 年の Kotecký と Preiss の論文は、その書き方と、どこまで部品が小さければよいかの判定条件を、8 頁で、部品の幾何学的な形にまったく依存しない形で示しました。本章はこの論文を、省かれた段を埋めながら全文読みます。

• 論文の対象は抽象的なポリマー系です。ポリマーの集合 $\mathsf K$、「両立しない」という反射的・対称な関係 $\iota$、重み $\Phi$ から、有限集合 $\mathsf L$ の分配関数 $\mathcal Z(\mathsf L;\Phi)$ を作ります。
• 論文の新しさは、クラスターを各ポリマーを高々 1 回しか含まない有限集合として定義し、$\log\mathcal Z$ を集合の束の上の Möbius 反転 $\Phi^T(\mathsf C)=\sum_{\mathsf B\subset\mathsf C}(-1)^{|\mathsf C|-|\mathsf B|}\log\mathcal Z(\mathsf B;\Phi)$ で展開したことです。有限体積では展開は有限和になります（定理 3.1）。
• 判定条件は $\sum_{\gamma'\mathrel{\iota}\gamma}e^{a(\gamma')+d(\gamma')}|\Phi(\gamma')|\le a(\gamma)$ で、結論は $\sum_{\mathsf C\mathrel{\iota}\gamma}|\Phi^T(\mathsf C)|e^{d(\mathsf C)}\le a(\gamma)$ です。関数 $d$ はクラスターの大きさに応じた余分の減衰を取り出すためのもので、相関の減衰の速さを測ります。
• 証明は木の数え上げを使いません。条件を $s\in[0,1]$ 倍に弱めた族を考え、結論が成り立つ $s$ の上限 $\alpha$ が $1$ であることを、重みを $t$ について微分する恒等式と連続性で示します（命題 4.3）。本章では、論文が暗黙に使っている「対数の枝の連続性」を補題として証明します（補題 2.5）。
• 論文後半の主張（Cammarota の条件との比較、自由エネルギーの公式と解析性、相関の減衰の 4 つの評価）もすべて証明します。相関の評価 (iii)(iv) は原論文の形のままでは成り立たない場合があり、反例を示したうえで仮定を補って証明します（注意 7.4）。
• 最後に、同じ条件が Dobrushin の条件を導くこと、Dobrushin の条件のもとでの分配関数の比の帰納的評価（定理 8.4）を述べ、判定条件どうしを比べます。

1. 動機

格子上の統計力学の模型の多くは、分配関数を「互いに両立する（重ならない）図形の族についての重みの積の和」に書き直せます。高温展開・低温の輪郭展開・格子ゲージ理論の強結合展開・くりこみ群の各段のポリマー展開は、すべてこの形です。図形をポリマー、その重みを活動度と呼びます。こう書けると、重みが小さいときに $\log\mathcal Z$ を局所的な項の和として展開し（クラスター展開）、圧力（自由エネルギー）や相関の減衰を体積によらない評価で調べられます。

1986 年以前、クラスター展開の収束の証明には 2 つの流れがありました。1 つは Kirkwood–Salsburg 型の方程式による方法（Ruelle の教科書、Gruber–Kunz、Gallavotti–Martin-Löf–Miracle-Solé）、もう 1 つは「グラフの木の組合せ論」による方法（Malyshev の総説、Seiler の講義録、Cammarota）です。Rikai のクラスター展開の章の証明（定理 4.1［クラスター展開と Kotecký–Preiss の判定条件］）は後者の流れにあります。どちらの方法でも、クラスターは同じポリマーを何度も含みうる多重集合であり、そのため有限体積でも $\log\mathcal Z$ は無限級数になります。

Kotecký と Preiss はこれを「各ポリマーを高々 1 回しか含まない集合」で組み直しました。有限集合 $\mathsf L$ について $\log\mathcal Z(\mathsf L)$ は $\mathsf L$ の部分集合 $2^{|\mathsf L|}$ 個についての有限和 $\sum_{\mathsf C\subset\mathsf L}\Phi^T(\mathsf C)$ になり、$\Phi^T$ は Möbius 反転で一意に決まります。多重集合の展開の無限個の項は、同じ台をもつものどうしが 1 つの $\Phi^T(\mathsf C)$ にまとめられているわけです（命題 3.3）。収束の問題は「$\Phi^T(\mathsf C)$ の和が体積によらず抑えられるか」という評価の問題だけになり、その評価が判定条件 (1) から 1 頁半の議論で出ます。

この論文の判定条件は、その後の構成的場の理論・統計力学で、ポリマー展開の「最後の一段」の標準的な道具になりました。多段のくりこみ群でも大場・小場のクラスター展開でも、各段で得たポリマーの活動度が「大きさについて指数的に小さい」ことを示したあと、それを硬芯気体として指数化する段では、本章の主定理の形の条件を確かめるのが定石です（たとえば 系 6.14［Abdesselam–Rivasseau『An explicit large versus small field multiscale cluster expansion』(1997) 部 3］）。関数 $d$ 付きの形は、クラスターの大きさに応じた余分の減衰を同じ条件から取り出す道具で、相関関数の減衰の速さや、有限体積の分配関数の比 $\mathcal Z(\mathsf L\setminus\mathsf X)/\mathcal Z(\mathsf L)$ の評価にそのまま使えます（系 5.2）。

論文 R. Kotecký, D. Preiss, “Cluster expansion for abstract polymer models”, Commun. Math. Phys. 103 (1986) 491–498 の構成と、本章での扱いは次のとおりです。

原論文	内容	本章
§1	序論：2 つの従来法と、多重集合による無限級数	§1
§2 前半	設定、Theorem（(1)–(4) とクラスターでない集合での消滅）	§2–§3、定理 3.1
§2 中盤	Möbius 反転の由来、Cammarota の条件との比較、自由エネルギーと解析性	§6、命題 6.1・命題 6.4・命題 6.5
§2 後半	相関の Proposition (i)–(iv)、関数 $\Delta_\partial$ の (6)–(8)、非負の重みでの改良	§7、命題 7.3 ほか
§3	Theorem の証明：一意性、(S) への帰着、上限 $\alpha$ の議論、(9)–(12) と (12) の右辺の評価	§4、命題 4.3 ほか

原論文には証明の付いた主張が Theorem と Proposition の 2 つしかありませんが、本文には「容易に確かめられる」とされた主張が多数あります。本章はそれらに番号付きの環境を与えてすべて証明します。

注意 1.1（原論文との照合について）

本章は原論文（CMP 103, 491–498）の本文と照合して書いています。数式番号 (1)–(12) と (1$_s$)・(2’)・(S) は原論文の番号で（原論文の番号は (12) までで、(12) の右辺を評価する最後の計算には番号がありません）、本文中で「条件 (1)」のように引きます。原論文の明らかな誤植（Proposition (ii) の指数の符号、(iv) の $d(\partial_1\cup\partial_2)$）と、仮定の不足（(iii)(iv)）は、該当する箇所の注意に書きました。

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