# Kotecký–Preiss『Cluster expansion for abstract polymer models』(1986)：ポリマーを重複させないクラスター展開と連続性の方法 > Kotecký–Preiss の 8 頁の論文を全文精読する。ポリマーを高々 1 回しか含まない集合のクラスターと Möbius 反転で対数を展開し、判定条件のもとでの収束を連続性の方法で証明し、相関の減衰の命題の不備を直して証明する。 > https://rikai.mugen-giken.com/physics/constructive-papers/kotecky-preiss-1986 ## 0. この記事の要点 たくさんの小さな部品が「重ならないように」並ぶ配置の総数（重みつきの和）を考えます。部品が小さくまばらなら、この総和の対数は、近くの部品どうしの絡み合いの寄与を足し合わせたものとして、系の大きさによらない精度で書けるはずです。1986 年の Kotecký と Preiss の論文は、その書き方と、どこまで部品が小さければよいかの判定条件を、8 頁で、部品の幾何学的な形にまったく依存しない形で示しました。本章はこの論文を、省かれた段を埋めながら全文読みます。 - 論文の対象は抽象的な[ポリマー系](/physics/constructive-qft/cluster-expansion#def-polymer-system)です。ポリマーの集合 $\mathsf K$、「両立しない」という反射的・対称な関係 $\iota$、重み $\Phi$ から、有限集合 $\mathsf L$ の分配関数 $\mathcal Z(\mathsf L;\Phi)$ を作ります。 - 論文の新しさは、クラスターを**各ポリマーを高々 1 回しか含まない有限集合**として定義し、$\log\mathcal Z$ を集合の束の上の Möbius 反転 $\Phi^T(\mathsf C)=\sum_{\mathsf B\subset\mathsf C}(-1)^{|\mathsf C|-|\mathsf B|}\log\mathcal Z(\mathsf B;\Phi)$ で展開したことです。有限体積では展開は有限和になります（）。 - 判定条件は $\sum_{\gamma'\mathrel{\iota}\gamma}e^{a(\gamma')+d(\gamma')}|\Phi(\gamma')|\le a(\gamma)$ で、結論は $\sum_{\mathsf C\mathrel{\iota}\gamma}|\Phi^T(\mathsf C)|e^{d(\mathsf C)}\le a(\gamma)$ です。関数 $d$ はクラスターの大きさに応じた余分の減衰を取り出すためのもので、相関の減衰の速さを測ります。 - 証明は木の数え上げを使いません。条件を $s\in[0,1]$ 倍に弱めた族を考え、結論が成り立つ $s$ の上限 $\alpha$ が $1$ であることを、重みを $t$ について微分する恒等式と連続性で示します（）。本章では、論文が暗黙に使っている「対数の枝の連続性」を補題として証明します（）。 - 論文後半の主張（Cammarota の条件との比較、自由エネルギーの公式と解析性、相関の減衰の 4 つの評価）もすべて証明します。相関の評価 (iii)(iv) は原論文の形のままでは成り立たない場合があり、反例を示したうえで仮定を補って証明します（）。 - 最後に、同じ条件が Dobrushin の条件を導くこと、Dobrushin の条件のもとでの分配関数の比の帰納的評価（）を述べ、判定条件どうしを比べます。 ## 1. 動機 格子上の統計力学の模型の多くは、分配関数を「互いに両立する（重ならない）図形の族についての重みの積の和」に書き直せます。高温展開・低温の輪郭展開・格子ゲージ理論の強結合展開・くりこみ群の各段のポリマー展開は、すべてこの形です。図形をポリマー、その重みを活動度と呼びます。こう書けると、重みが小さいときに $\log\mathcal Z$ を局所的な項の和として展開し（クラスター展開）、圧力（自由エネルギー）や相関の減衰を体積によらない評価で調べられます。 1986 年以前、クラスター展開の収束の証明には 2 つの流れがありました。1 つは Kirkwood–Salsburg 型の方程式による方法（Ruelle の教科書、Gruber–Kunz、Gallavotti–Martin-Löf–Miracle-Solé）、もう 1 つは「グラフの木の組合せ論」による方法（Malyshev の総説、Seiler の講義録、Cammarota）です。Rikai の[クラスター展開の章](/physics/constructive-qft/cluster-expansion)の証明（）は後者の流れにあります。どちらの方法でも、クラスターは同じポリマーを何度も含みうる多重集合であり、そのため有限体積でも $\log\mathcal Z$ は無限級数になります。 Kotecký と Preiss はこれを「各ポリマーを高々 1 回しか含まない集合」で組み直しました。有限集合 $\mathsf L$ について $\log\mathcal Z(\mathsf L)$ は $\mathsf L$ の部分集合 $2^{|\mathsf L|}$ 個についての有限和 $\sum_{\mathsf C\subset\mathsf L}\Phi^T(\mathsf C)$ になり、$\Phi^T$ は Möbius 反転で一意に決まります。多重集合の展開の無限個の項は、同じ台をもつものどうしが 1 つの $\Phi^T(\mathsf C)$ にまとめられているわけです（）。収束の問題は「$\Phi^T(\mathsf C)$ の和が体積によらず抑えられるか」という評価の問題だけになり、その評価が判定条件 (1) から 1 頁半の議論で出ます。 この論文の判定条件は、その後の構成的場の理論・統計力学で、ポリマー展開の「最後の一段」の標準的な道具になりました。多段のくりこみ群でも大場・小場のクラスター展開でも、各段で得たポリマーの活動度が「大きさについて指数的に小さい」ことを示したあと、それを硬芯気体として指数化する段では、本章の主定理の形の条件を確かめるのが定石です（たとえば ）。関数 $d$ 付きの形は、クラスターの大きさに応じた余分の減衰を同じ条件から取り出す道具で、相関関数の減衰の速さや、有限体積の分配関数の比 $\mathcal Z(\mathsf L\setminus\mathsf X)/\mathcal Z(\mathsf L)$ の評価にそのまま使えます（）。 論文 R. Kotecký, D. Preiss, "Cluster expansion for abstract polymer models", *Commun. Math. Phys.* **103** (1986) 491–498 の構成と、本章での扱いは次のとおりです。 | 原論文 | 内容 | 本章 | |---|---|---| | §1 | 序論：2 つの従来法と、多重集合による無限級数 | §1 | | §2 前半 | 設定、Theorem（(1)–(4) とクラスターでない集合での消滅） | §2–§3、 | | §2 中盤 | Möbius 反転の由来、Cammarota の条件との比較、自由エネルギーと解析性 | §6、・・ | | §2 後半 | 相関の Proposition (i)–(iv)、関数 $\Delta_\partial$ の (6)–(8)、非負の重みでの改良 | §7、 ほか | | §3 | Theorem の証明：一意性、(S) への帰着、上限 $\alpha$ の議論、(9)–(12) と (12) の右辺の評価 | §4、 ほか | 原論文には証明の付いた主張が Theorem と Proposition の 2 つしかありませんが、本文には「容易に確かめられる」とされた主張が多数あります。本章はそれらに番号付きの環境を与えてすべて証明します。 本章は原論文（CMP 103, 491–498）の本文と照合して書いています。数式番号 (1)–(12) と (1$_s$)・(2')・(S) は原論文の番号で（原論文の番号は (12) までで、(12) の右辺を評価する最後の計算には番号がありません）、本文中で「条件 (1)」のように引きます。原論文の明らかな誤植（Proposition (ii) の指数の符号、(iv) の $d(\partial_1\cup\partial_2)$）と、仮定の不足（(iii)(iv)）は、該当する箇所の注意に書きました。 （この章の続きは購入者向けです。）