Brydges–Fröhlich–Seiler (1979) 第 1 部：格子ゲージ理論の反磁性不等式・反射正値性・チェッカーボード評価

0. この記事の要点

物質の場を外から与えた電磁場（一般には色の力の場）の中に置くと、真空のエネルギーは下がらず、上がるか変わらないか、のどちらかです。Brydges・Fröhlich・Seiler は 1978 年のプレプリントで、この「反磁性」を格子の上で、スカラー場にも Dirac 場にも成り立つ形で証明しました。本章はその §2 を、省かれた段を埋め、誤りを直しながら読みます。

• 反磁性不等式（原論文 Theorem 2.3 = Theorem A）：偶数辺のトーラスで、外部ゲージ場 $g$ の中の物質の分配関数は $|Z_\Lambda(g)|\le Z_\Lambda(1)$ を満たし、真空エネルギー密度は $\varepsilon_\Lambda(g)\ge\varepsilon_\Lambda(1)$ です。証明は、反射正値性から出る Schwarz 不等式で「反射面をまたぐゲージ場を 1 に置き換える」操作を、最大値の議論で全ボンドに及ぼすものです。
• 原論文の誤り 1：Dirac 場に周期境界条件を課すと定理は偽です。1 次元・4 サイトの例で、ゲージ場の流束を $\pi$ にすると分配関数が増えることを示します。正しくはフェルミオンに反周期境界条件を課します（Bose 場とゲージ場は周期のまま）。
• 原論文の誤り 2：Wilson 型のホッピング行列 $\Gamma_{xy}$ への条件 $\gamma_{xy}\Gamma_{xy}^*\gamma_{xy}=\Gamma_{xy}$ は「$\Gamma_{xy}\gamma_{xy}$ がエルミート」と言っているだけで足りず、$\Gamma_{xy}\gamma_{xy}\ge0$ が要ります。$\Gamma=r+\gamma_{xy}$ なら $|r|\le1$ です。
• ゲージ場を「サイトごとの群の元 $w_{x,b}$」で書く w パラメータ化のおかげで、反射面をまたぐリンクの変数が両側に分かれ、ゲージ固定なしに OS 正値性（Theorem 2.8）が出ます。分配関数の下界（Proposition 2.7）は、Grassmann 積分では $\langle1\rangle=0$ なので原論文の形（$\ge1$）がフェルミオンで崩れることを例で示し、1 サイトの分配関数 $z_1$ を使った $Z_\Lambda\ge|z_1|^{|\Lambda|}$ に直して証明します。
• チェッカーボード評価（Theorem 2.10）を 1 方向の評価の $\nu$ 回の合成として、赤外評価（Theorem 2.11）を「反射面をまたぐ歪みはユニタリ行列として吸収できる」補題から証明します。真空エネルギー密度の存在と単調性（Corollary 2.9）は転送行列の跡の不等式から示します。原論文が構成を省いた転送行列は、Fermi 場を含む場合も、反射正値性と Grassmann 積分の符号の勘定から「格子 2 つ分の転送」が半正定値になる形で作ります。

1. 動機

磁場の中に電子を置いたときの基底状態のエネルギーが、磁場がない場合より下がらないこと、すなわち反磁性は、量子力学では Kato の不等式や Feynman–Kac 公式（経路積分）を使って示される古典的な事実です。電子の経路は磁場から位相 $e^{i\int A}$ を受け取るだけで、位相の絶対値は 1 なので、経路積分の和は位相をそろえた場合（磁場ゼロ）に最大になる、という直観です。

場の量子論では、外部ゲージ場 $g$ の中に置いた物質場の真空エネルギー密度を $\varepsilon(g)$ と書くと、反磁性は $\varepsilon(g)\ge\varepsilon(1)$ という主張になります。自由スカラー場については Schrader と R. Seiler が示していました。Brydges・Fröhlich・Seiler（以下 BFS）は、これが自己相互作用を持つ任意の局所的な場の理論、それも Dirac 場を含む理論で成り立つことを、反射正値性（ユークリッド場の理論で量子力学の正定値な内積を保証する条件）だけから導きました。反射正値性は Osterwalder–Seiler が格子ゲージ理論で示していた性質で（定理 6.13［Osterwalder–Seiler (1978) 第 1 部］）、BFS はそれを「Schwarz 不等式の繰り返し」という統計力学の道具（Fröhlich–Israel–Lieb–Simon のチェッカーボード評価）と組み合わせています。

BFS の論文シリーズの目標は、2 次元の可換 Higgs 模型（スカラー QED）を連続極限で構成することでした。第 I 論文（本論文）が一般論と格子上の不等式、第 II 論文が連続極限の構成、第 III 論文が質量生成・$\theta$ 真空・閉じ込めです。反磁性不等式は、ゲージ場を積分する前の「外場中の物質」の分配関数を上から抑えるので、ゲージ場の積分に一様な評価を与えます。これは後の QED の構成（格子間隔によらない評価）で繰り返し使われる型の不等式です。

論文の §2 の構成と本章での扱いは次のとおりです。

原論文	内容	本章
§2.1 (2.1)–(2.33)	場・期待値・w パラメータ化・ゲージ変換・反射 $\theta$、Lemma 2.1, 2.2	§3・§4
§2.2 (2.34)	相互作用ポテンシャルの一般論（証明なしの概観）	扱わない（主張を含まない）
§2.3 (2.35)–(2.55)	外場中の物質、Theorem 2.3、Corollary 2.4, 2.5、Theorem 2.6	§5
§2.4 (2.56)–(2.66)	Yang–Mills 作用、Proposition 2.7、Theorem 2.8、Corollary 2.9、Theorem 2.10, 2.11	§6・§7
§3–§4	共変 Laplacian の Kato 型不等式、可換 Higgs 模型の強い反磁性不等式	第 2 部
§5–§6	ゲージ不変性と OS 正値性のゲージ非依存性、Ginibre 型不等式	第 3 部

注意 1.1（§1 の Theorem B–E について）

原論文の §1.2 は主結果を Theorem A–E としてまとめています。Theorem A はこの章の 定理 5.6 です。Theorem B（共変 Laplacian の伝播関数の評価と、可換 Higgs 模型の非正規化 Schwinger 関数の上界）は §3・§4 の内容で、第 2 部で証明します。Theorem C（$\nu\ge3$ の Higgs 模型での第 2 のスカラー場の質量生成）、Theorem D（2 次元可換 Higgs 模型の $\theta$ 真空と $\theta=\pi$ での 1 次相転移）、Theorem E（分数電荷のクォークの Wilson ループの面積則）は、原論文自身が「III を見よ」と述べるだけで本論文に証明がありません。証明は BFS の第 III 論文（Commun. Math. Phys. 79 (1981)）にあるので、本論文の範囲外として本章では扱いません。Theorem E の証明にこの章のチェッカーボード評価（定理 7.1）が使われる、とだけ述べておきます。

注意 1.2（照合した版と番号）

本章は IHES のプレプリント IHES/P/78/237（1978 年 6 月、93 頁）と照合して書きました。出版版（Ann. Phys. 121 (1979) 227–284）は手元に無く、節・式・定理の番号はプレプリントの番号です。出版版で番号や記述が変わっている可能性があります。

ここから先は有料（買い切り ¥200）の内容です。

この章は博士課程以上・研究水準の内容です。続き（定義・定理・証明・例・演習）は ¥200 の買い切りで、他の有料章と 100 本ノックも含めてすべて読めます。無料の章は最後まで読めます。

購入する ログイン